¿Aleatorio o no?
Antes de comenzar esta actividad, es posible que desees leer estas definiciones:
- Números
naturales
Los números naturales son los números {0, 1, 2, 3, ...} etc.
No hay parte fraccionaria o decimal. Y sin negativos. (Nota: alguna gente no incluye al cero como número natural).
- Aleatorio
Aleatorio significa: sin orden. No se puede predecir. Sucediendo por casualidad.
- "Igualmente probable" significa que cada resultado posible de un experimento tiene la misma probabilidad de ocurrir (ejemplo: cuando se lanza un dado equilibrado, cada una de las seis caras tiene la misma probabilidad de caer boca arriba).
Sumar o multiplicar dos números enteros juntos
¿Alguna vez has pensado en el resultado que obtienes:
- Cuándo sumas dos números enteros
- O cuando multiplicas dos números enteros?
En particular, ¿son todos los últimos dígitos igualmente probables?
Ejemplo:
39 + 57 = 96 tiene el último dígito 6
38 × 45 = 1,710 tiene el último dígito 0.
Entonces, ¿los dígitos del 0 al 9 son igualmente probables?
¿Cuál es tu conjetura?
Sumar.
Marca una de las siguientes opciones:
Cuando sumas dos números enteros seleccionados al azar | Marca |
Sí, todos los últimos dígitos son igualmente probables | |
No, los últimos dígitos no son todos igualmente probables |
Multiplicar. Marca una de las siguientes opciones:
Cuando multiplica dos números enteros seleccionados al azar | Marca |
Sí, todos los últimos dígitos son igualmente probables | |
No, los últimos dígitos no son todos igualmente probables |
Veamos si adivinaste correctamente ...
(Nota: damos respuestas a las tablas en la parte inferior de la página ... pero solo verifícalas cuando hayas terminado, o esta no sería una actividad, ¿verdad?)
Suma
Piensa en:
- 13 + 18 = 31,
- 23 + 78 = 101,
- 53 + 68 = 121, y
- 83 + 58 = 141
Verás que todos terminan en el dígito 1.
Entonces, ¿qué tienen en común?
Son todas sumas de números enteros cuyos últimos dígitos son 3 y 8 respectivamente. Cuando sumamos un número que termina en 3 a un número que termina en 8, siempre obtenemos un número que termina en 1.
Entonces, todo lo que debemos considerar son los últimos dígitos de los dos números que estamos sumando.
Podemos hacer esto completando una tabla.
La siguiente tabla está incompleta. ¿Puedes completar los números que faltan?
Recuerda: solo el último dígito después de la suma, por lo que con 6 + 7 = 13, queremos el "3"
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 3 | 5 | 8 | |||||
1 | 2 | 4 | 7 | 0 | ||||||
2 | 2 | 5 | 7 | 0 | 1 | |||||
3 | 4 | 7 | 8 | 0 | 1 | |||||
4 | 4 | 6 | 8 | 0 | 3 | |||||
5 | 6 | 8 | 0 | 1 | 3 | |||||
6 | 6 | 8 | 0 | 2 | 3 | |||||
7 | 8 | 0 | 1 | 3 | 6 | |||||
8 | 8 | 0 | 3 | 5 | 6 | |||||
9 | 0 | 1 | 3 | 6 | 8 |
Ahora puedes contar los números y completar una tabla de frecuencias:
Último dígito |
Cuenta | Frecuencia | Frecuencia relativa |
0 | 10 | 0.1 | |
1 | |||
2 | |||
3 | |||
4 | |||
5 | |||
6 | |||
7 | |||
8 | |||
9 |
Entonces, ¿todos los últimos dígitos son igualmente probables esta vez?
La respuesta es sí.
Cada
valor de 0 a 9 ocurre exactamente 10
veces de cada 100.
Así que todos son igualmente probables, como cuando lanzas
un dado.
Frecuencias relativas
¿Puedes completar la última columna de la tabla con las frecuencias relativas para cada último dígito?
Ejemplo:
0
ocurre 10
veces de cada 100,
por lo que la frecuencia relativa para 0
es 10/100 = 0.1
Multiplicación
Piensa en:
- 12 × 19 = 228
- 22 × 79 = 1,738
- 52 × 49 = 2,548 y
- 82 × 39 = 3,198.
Verás que todas terminan en el dígito 8.
Entonces, ¿qué tienen en común?
Todos son productos de números enteros cuyos últimos dígitos son 2 y 9 respectivamente. Cuando multiplicamos un número que termina en 2 con un número que termina en 9, siempre obtenemos un número que termina en 8.
Entonces, todo lo que debemos considerar son los últimos dígitos de los dos números que estamos multiplicando.
La siguiente tabla está incompleta. ¿Puedes completar los números que faltan?
Recuerda: solo el último dígito después de la multiplicación, por lo que con 3 × 6 = 18, queremos el "8".
× | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | |||
2 | 0 | 4 | 6 | 0 | 4 | 6 | ||||
3 | 0 | 3 | 9 | 2 | 8 | 1 | 7 | |||
4 | 0 | 8 | 2 | 0 | 4 | 2 | 6 | |||
5 | 0 | 5 | 0 | 0 | 0 | 5 | 0 | 5 | ||
6 | 0 | 2 | 8 | 0 | 6 | 8 | ||||
7 | 0 | 7 | 1 | 8 | 2 | 9 | 3 | |||
8 | 0 | 6 | 4 | 0 | 8 | 4 | 2 | |||
9 | 0 | 9 | 6 | 4 | 3 | 1 |
Ahora puedes contar los números y completar una tabla de frecuencias:
Último dígito |
Cuenta | Frecuencia | Frecuencia relativa |
0 | 27 | 0.27 | |
1 | |||
2 | |||
3 | |||
4 | |||
5 | |||
6 | |||
7 | |||
8 | |||
9 |
Entonces, ¿todos los últimos dígitos son igualmente probables esta vez?
La
respuesta sigue siendo no.
El último dígito 0 ocurre 27 veces de cada 100, pero el último dígito 7 solo ocurre cuatro veces:
1 × 7 , 3 × 9 , 7 × 1 y 9 × 3
Frecuencias relativas
¿Puedes completar la última columna de la tabla con las frecuencias relativas para cada último dígito?
Ejemplo
0 ocurre 27 de cada 100, por lo que la frecuencia relativa para 0 es 27/100 = 0.27
Conclusiones
¿Predijiste los resultados correctamente?
La suma da resultados igualmente probables, pero la multiplicación
no ... ¡qué tal eso!
¿Podrían las frecuencias relativas ser útiles de alguna manera?
... ¡No mires más allá de aquí hasta que hayas completado la actividad! ...
Tablas completadas
Aquí están las respuestas:
Suma
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 |
5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
7 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
8 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
9 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Último dígito | Frecuencia | Frecuencia relativa |
0 | 10 | 0.1 |
1 | 10 | 0.1 |
2 | 10 | 0.1 |
3 | 10 | 0.1 |
4 | 10 | 0.1 |
5 | 10 | 0.1 |
6 | 10 | 0.1 |
7 | 10 | 0.1 |
8 | 10 | 0.1 |
9 | 10 | 0.1 |
Total | 100 | 1.0 |
Multiplicación
× | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 2 | 5 | 8 | 1 | 4 | 7 |
4 | 0 | 4 | 8 | 2 | 6 | 0 | 4 | 8 | 2 | 6 |
5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 |
6 | 0 | 6 | 2 | 8 | 4 | 0 | 6 | 2 | 8 | 4 |
7 | 0 | 7 | 4 | 1 | 8 | 5 | 2 | 9 | 6 | 3 |
8 | 0 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | 8 | 6 | 4 | 2 |
9 | 0 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Último dígito | Frecuencia | Frecuencia relativa |
0 | 27 | 0.27 |
1 | 4 | 0.04 |
2 | 12 | 0.12 |
3 | 4 | 0.04 |
4 | 12 | 0.12 |
5 | 9 | 0.09 |
6 | 12 | 0.12 |
7 | 4 | 0.04 |
8 | 12 | 0.12 |
9 | 4 | 0.04 |
Total | 100 | 1.00 |