Coloración (Teorema de los 4 colores)
Esta actividad trata de colorear, pero no pienses que es solo cosa de niños. Esta investigación conducirá a uno de los teoremas matemáticos más famosos y a unos resultados muy interesantes.
¿Alguna vez has coloreado un patrón y te preguntaste cuántos colores necesitas usar?
Solamente hay una regla
¡Dos secciones que comparten un borde común no pueden tener el mismo color!
Tener una esquina común está bien, pero no un lado.
Comencemos con un patrón simple como un grupo de nueve cuadrados:
¿Cuántos colores necesitas para colorear el patrón de nueve cuadrados?
Podrías usar nueve colores diferentes, pero podrías conformarte con tan solo dos:
Un poco más complicado
¿Que tal este?
¿Cuántos colores necesitas esta vez?
Tu turno ... pruébalo ... luego desplázate hacia abajo para ver mi respuesta
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Puedes usar cuatro colores diferentes, o puedes conformarte con solo tres:
Pero no podrías colorear este patrón con solo dos colores. ¿Puedes ver por qué?
Aún más complicado
Probemos con otro:
¿Cuántos colores necesitas esta vez?
¿Nueve? ¿Ocho? ¿Siete? ¿Seis? ¿Cinco? Cuatro?
Pruébalo tu mismo antes de ver mi respuesta.
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Necesité cuatro colores para colorear este patrón. Puedo cambiar los colores un poco, pero todavía necesito cuatro. No puedo colorear este patrón con menos de cuatro colores. |
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Mapas
Esto podría volverse un poco más interesante si quisiéramos colorear un mapa.
Es posible que un mapa no funcione cuando un país tiene dos o más áreas separadas, como Alaska (parte de los EE. UU., pero con Canadá en el medio) o Kaliningrado (parte de Rusia, pero tampoco unida). Pero ignoremos eso aquí.
Aquí hay un mapa de parte de Europa, que muestra nueve países y cómo limitan entre sí:
Intenta colorear en el mapa y mira cuál es la menor cantidad de colores que necesitas.
Nuevamente, ¡no mires mi respuesta hasta que lo hayas probado tú mismo!
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Así es como lo hice. Necesitaba usar cuatro colores:
Cuatro colores
Parece que cualquier patrón o mapa siempre se puede colorear con cuatro colores.
En algunos casos, como en el primer ejemplo, podríamos usar menos de cuatro. En muchos casos podríamos usar muchos más colores si quisiéramos, ¡pero un máximo de cuatro colores es suficiente!
Este resultado se ha convertido en uno de los teoremas matemáticos más famosos y se conoce como el teorema de los cuatro colores.
Entonces, ¿por qué es importante?
Es importante porque se estableció por primera vez en 1852, pero no se demostró hasta 1976. Durante más de ciento veinte años, algunos de los mejores cerebros matemáticos del mundo no lograron demostrar uno de los teoremas matemáticos más simples. Hubo muchas pruebas falsas y se desarrolló una rama completamente nueva de las matemáticas, conocida como teoría de grafos, para tratar de resolver el teorema. Pero nadie pudo probarlo hasta que en 1976 Appel y Haken probaron el teorema con la ayuda de una computadora.
Algunas personas piensan que, aunque su prueba fue correcta, usar una computadora fue una trampa. ¿Qué piensas?
¡Se puede cambiar un mapa!
Ahora mira nuevamente nuestros dos ejemplos anteriores:
¿Puedes ver la similitud entre estos dos diagramas?
Imagínate que el mapa de los países europeos se dibujó en un trozo de goma que se pudiera estirar. Al estirar y torcer la pieza de goma de cierta manera, podríamos terminar con el diagrama circular.
Decimos que son homeomorfos.
Esa es una palabra grande, pero una idea muy simple: uno puede convertirse en el otro.
También forma parte de una gran rama de las matemáticas conocida como topología.
Uno más: Estados de EE. UU.
Aquí hay uno para que lo pruebes por tu cuenta ... los Estados Unidos "contiguos" (es decir, todo lo que está junto) (sin Alaska ni Hawai).
¿Puedes colorearlo usando solo 4 colores?
