Ecuaciones del Círculo

círculo

Es fácil hacer un círculo:

Dibuja una curva que esté a

un "radio" de distancia

de un punto central.

Por lo que tenemos que:

Todos los puntos están a la misma distancia del centro.

 

De hecho la definición de un círculo es

Círculo: Es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto central.

El Círculo en una Gráfica

Pongamos un círculo de radio 5 en una gráfica:

gráfica de un círculo

Ahora veamos exactamente dónde están todos los puntos.

Hacemos un triángulo rectángulo:

gráfica de un círculo

Y luego usamos Pitágoras:

x2 + y2 = 52

Hay un número infinito de esos puntos. Aquí unos ejemplos:

gráfica de un círculo

x y x2 + y2
5 0 52 + 02 = 25 + 0 = 25
3 4 32 + 42 = 9 + 16 = 25
0 5 02 + 52 = 0 + 25 = 25
−4 −3 (−4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25
0 −5 02 + (−5)2 = 0 + 25 = 25

En todos los casos, un punto en el círculo sigue la regla x2 + y2 = radio2

Podemos usar esa idea para encontrar un valor faltante.

Ejemplo: x tiene coordenada 2 y el radio es 5

Empieza con:x2 + y2 = r2
Valores que conocemos:22 + y2 = 52
Re-acomoda: y2 = 52 − 22
Raíz cuadrada de ambos lados: y = ±√(52 − 22)
Resuelve:y = ±√21
 y ≈ ±4.58...

(El ± significa que hay dos posibles valores: uno con + y el otro con )

Y aquí están los dos puntos:

gráfica de un círculo

Un caso más general

Ahora pongamos el centro en (a,b)

gráfica de un círculo

Entonces el círculo es todos los puntos (x,y) que están "r" alejados del centro (a, b).

Ahora veamos dónde están los puntos (usando un triángulo rectángulo y Pitágoras):

gráfica de un círculo

Es la misma idea que antes, pero necesitamos restar a y b:

(x−a)2 + (y−b)2 = r2

¡Y ésa es la "Forma Estándar" para la ecuación de un círculo!

 

Muestra toda la información importante de un vistazo: el centro (a,b) y el radio r.

Ejemplo: Un círculo con centro en (3,4) y radio 6:

Empieza con:

(x−a)2 + (y−b)2 = r2

Sustituye (a,b) y r:

(x−3)2 + (y−4)2 = 62

Entonces podemos usar nuestras habilidades de álgebra para simplificar y reorganizar esa ecuación, dependiendo de para qué la necesitemos.

Inténtalo tú mismo

"Forma General"

¡Puedes estar viendo la ecuación de un círculo y no saberlo!

Debido a que puede no estar en la "forma estándar" de arriba.

Como ejemplo, pongamos algunos valores de a, b y r y luego desarrollemos

Empieza con:(x-a)2 + (y-b)2 = r2
Ejemplo: a=1, b=2, r=3:(x-1)2 + (y-2)2 = 32
Desarrolla: x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = 9
Junta términos similares:x2 + y2 - 2x - 4y + 1 + 4 - 9 = 0

Y al final nos queda:

x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0

Es la ecuación de un círculo, ¡pero "disfrazada"!

Entonces, cuando veas algo así, piensa "hmm ... ¡eso podría ser un círculo!"

De hecho, podemos escribirlo en "Forma General" poniendo constantes en lugar de los números:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Nota: la forma general siempre tiene x2 + y2 como sus dos primeros términos.

Pasando de la Forma General a la Forma Estándar

Ahora imagina que tenemos una ecuación en su Forma General:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

¿Cómo podemos ponerla en su Forma Estándar, como ésta que sigue?

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

La respuesta es completando el cuadrado (lee sobre eso) dos veces... una para x y la otra para y:

Ejemplo: x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0

Empieza con:x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0
Agrupa las x's y las y's:(x2 - 2x) + (y2 - 4y) - 4 = 0
La constante del lado derecho:(x2 - 2x) + (y2 - 4y) = 4

Ahora completa el cuadrado para x (toma la mitad del -2, elévalo al cuadrado y súmalo a ambos lados):

(x2 - 2x + (-1)2) + (y2 - 4y) = 4 + (-1)2

Y completa el cuadrado para y (toma la mitad del -4, elévalo al cuadrado y súmalo a ambos lados):

(x2 - 2x + (-1)2) + (y2 - 4y + (-2)2) = 4 + (-1)2 + (-2)2

Pon algo de orden:

Simplifica:(x2 - 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 9
Finalmente:(x - 1)2 + (y - 2)2 = 32

¡Y ahora está en Forma Estándar!

(Nota: este ejemplo utilizó el ejemplo a=1, b=2, r=3 de antes, ¡así que lo hicimos bien!)

Círculo Unitario

Si colocamos el centro del círculo en (0,0) y establecemos el radio en 1 obtenemos:

Círculo Unitario

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

(x-0)2 + (y-0)2 = 12

x2 + y2 = 1

La cual es la ecuación del Círculo Unitario

Cómo Graficar un Círculo Manualmente

1. Ubica y marca el centro (a,b)

2. Señala 4 puntos a un "radio" de distancia del centro hacia arriba, abajo, izquierda y derecha.

3. ¡Dibuja sobre esos 4 puntos!

Ejemplo: Graficar (x-4)2 + (y-2)2 = 25

La fórmula para un círculo es (x-a)2 + (y-b)2 = r2

Así que el centro está en (4,2)

Y r2 es 25, de modo que el radio mide √25 = 5

gráfica de un círculo

Así que podemos trazar

  • El centro: (4,2)
  • Arriba: (4,2+5) = (4,7)
  • Abajo: (4,2-5) = (4,-3)
  • Izquierda: (4-5,2) = (-1,2)
  • Derecha: (4+5,2) = (9,2)

¡Ahora dibujemos el círculo lo mejor que podamos!

Cómo trazar un círculo en la computadora

Necesitamos reorganizar la fórmula para obtener "y ="

Deberíamos terminar con dos ecuaciones (arriba y abajo del círculo) que luego se pueden trazar.

Ejemplo: Grafica (x−4)2 + (y−2)2 = 25

El centro está en (4,2), y el radio mide √25 = 5

Re-acomoda para obtener "y=":

Empieza con: (x−4)2 + (y−2)2 = 25
Mueve (x−4)2 a la derecha: (y−2)2 = 25 − (x−4)2
Aplica la raíz cuadrada: (y−2) = ± √[25 − (x−4)2]
 (Observa el ± "más/menos" ...
¡Puede haber dos raíces cuadradas!)
Pasa el "−2" a la derecha:y = 2 ± √[25 − (x−4)2]

 Entonces, cuando graficamos estas dos ecuaciones, deberíamos tener un círculo:

  • y = 2 + √[25 − (x−4)2]
  • y = 2 − √[25 − (x−4)2]

Echa un vistazo a la gráfica de esta ecuación.

También es posible usar nuestro graficador de ecuaciones para hacerlo todo en un solo paso.

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).