Propiedad del Producto Cero

La "Propiedad del Producto Cero" dice que:

Si a × b = 0   entonces   a = 0   o   b = 0  
(o ambos a = 0 y b = 0)

Puede ayudarnos a resolver ecuaciones:

Ejemplo: Resolver (x−5)(x−3) = 0

La "propiedad del producto cero" dice:

Si  (x−5)(x−3) = 0  entonces  (x−5) = 0   o   (x−3) = 0

Ahora solo resolvemos cada uno de esos:

Para (x−5) = 0 se tiene x = 5

Para (x−3) = 0 se tiene x = 3

Y las soluciones son:

x = 5, o x = 3

Aquí está en una gráfica:

(x-5)(x-3) = 0 gráfica
y=0 cuando x=3 o x=5

Forma estándar de una ecuación

A veces podemos resolver una ecuación poniéndola en forma estándar y luego usando la propiedad del producto cero:

La "Forma Estándar" de una ecuación es:

(alguna expresión) = 0

En otras palabras, "= 0" está a la derecha y todo lo demás está a la izquierda.

Ejemplo: Pon x2 = 7 en Forma Estándar

Respuesta:

x2 − 7 = 0

Forma estándar y propiedad del producto cero

Vamos a probar:

Ejemplo: Resolver 5(x+3) = 5x(x+3)

Es tentador dividir por (x + 3), pero eso es dividir entre cero cuando x = −3

Entonces, en su lugar, podemos usar la "Forma Estándar":

5(x+3) − 5x(x+3) = 0

Que se puede simplificar a:

(5−5x)(x+3) = 0

5(1−x)(x+3) = 0

Entonces la "Propiedad del Producto Cero" dice:

(1−x) = 0, o (x+3) = 0

Y las soluciones son:

x = 1, o x = −3

Y otro ejemplo:

Ejemplo: Resolver x3 = 25x

Es tentador dividir por x, pero eso es dividir entre cero cuando x = 0

Entonces usemos la forma estándar y la propiedad del producto cero.

 

Pasa todo al lado izquierdo:

x3 − 25x = 0

Factoriza la x:

x(x2 − 25) = 0

x2 − 25 es una diferencia de cuadrados, y puede factorizarse como (x − 5)(x + 5):

x(x − 5)(x + 5) = 0

Ahora podemos ver tres formas posibles en que podría terminar en cero:

x = 0, o x = 5, o x = −5

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).