Cumpleaños Compartido

Este es un gran reto, y puedes aprender mucho sobre probabilidad en el camino ...

Hay 30 personas en una habitación ... ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos celebren su cumpleaños el mismo día? Asume 365 días en un año.

pensando

Algunas personas podrían pensar:

"hay 30 personas y 365 días, por lo que 30/365 parece razonable.
 30/365 es aproximadamente 0.08 ..., entonces, ¿tal vez 8%?"

¡Pero no!

La probabilidad es mucho mayor.

En realidad, es muy probable que haya personas que compartan un cumpleaños en esa habitación.
probabilidad todos con todos  

Porque deberías comparar a todos con todos.

Y con 30 personas, eso son 435 comparaciones.

Pero también debes tener cuidado de no sobre contar las probabilidades

.

Te mostraré cómo hacerlo ... comenzando con un ejemplo más pequeño:

Amigos y números aleatorios

Aquí hay otro ejemplo bastante diferente de probabilidad condicional.

4 amigos (Alex, Brenda, Cristian y Diana) cada uno elige un número aleatorio entre 1 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos elija el mismo número?

Vamos analizando la pregunta añadiendo a un amigo a la vez

 

Primero, ¿cuál es la probabilidad de que Alex y Brenda tengan el mismo número?

Brenda compara su número con el número de Alex. Hay una probabilidad de 1 en 5 de una coincidencia.

Mediante un Diagrama de Árbol:

eventos dependientes 1

Nota: "Sí" y "No" en conjunto suman 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)

 

Ahora, incluyamos a Cristian ...

Pero ahora hay dos casos a considerar:
Y obtenemos esto:

eventos dependientes 2

Para la línea superior (Alex y Brenda coincidieron) ya tenemos una coincidencia (una probabilidad de 1/5).

Pero para el caso "Alex y Brenda no coincidieron" ahora hay una probabilidad de 2/5 de que Cristian coincida (porque Cristian puede igualar su número con otros 2 números: el de Alex o el de Brenda).

Y podemos calcular la probabilidad combinada multiplicando las probabilidades que se necesitaron para llegar allí:

Siguiendo el camino "No, Sí" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguido de una probabilidad de 2/5 de Sí:

(4/5) × (2/5) = 8/25

Siguiendo el camino "No, No" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguida de una probabilidad de 3/5 de No:

(4/5) × (3/5) = 12/25

También ten en cuenta que cuando sumamos todas las posibilidades, aún obtenemos 1 (una buena comprobación de que no nos hemos equivocado):

(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1

 

¿Qué pasa cuando incluimos a Diana?

Es la misma idea, solo más extendida:

eventos dependientes 3

OK, eso son los 4 amigos, y las probabilidades de "Sí" juntas son 101/125:

Respuesta: 101/125

 

Pero aquí hay algo interesante ... si seguimos el camino "No" podemos omitir todos los otros cálculos y hacer nuestra vida más fácil:

eventos dependientes 4

Las posibilidades de no coincidir son:

(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125

Así que las posibilidades de coincidir son:

1 - (24/125) = 101/125

(¡Y realmente no necesitábamos un diagrama de árbol para eso!)

 

Y ese es un truco famoso en probabilidad:

A menudo es más fácil resolver el caso "No"
(y restar de 1 para el caso "Sí")

 

Ejemplo: ¿cuáles son las probabilidades de que habiendo 6 personas, cualquiera de ellos celebre su cumpleaños en el mismo mes? (Supón meses iguales)

El caso de "no coincidencia" para:

Entonces las posibilidades de no coincidir son:

(11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12) = 0.22...

Dale la vuelta y tenemos la probabilidad cuando hay coincidencia:

1 − 0.22... = 0.78...

Entonces, hay un 78% de probabilidad de que alguno de ellos celebre su cumpleaños en el mismo mes.

 

Y ahora podemos intentar responder la pregunta "Cumpleaños Compartido" con la que comenzamos:

Hay 30 personas en una habitación ... ¿cuál es la posibilidad de que dos de ellos celebren su cumpleaños el mismo día? Asume 365 días en un año.

¡Es como el ejemplo anterior! Pero más números y más grandes:

Las probabilidad de no coincidir es:

364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 336/365 = 0.294...

(Hice las operaciones en una hoja de cálculo,
pero también hay atajos matemáticos)

Y la probabilidad de que haya coincidencia es 1 − 0.294... :

La probabilidad de compartir un cumpleaños = 1 − 0.294... = 0.706...

Es decir, el 70.6%, ¡sorprendente!

Entonces la probabilidad para 30 personas es aproximadamente 70%.

Entonces la probabilidad para 23 personas es aproximadamente 50%.

Entonces la probabilidad para 57 personas es 99% (¡Casi seguro!)

Simulación

También podemos simular esto usando números aleatorios. Pruébalo tú mismo aquí, usa 30 y 365 y presione Go. Se realizarán mil ensayos aleatorios y se darán los resultados..

También puedes probar los otros ejemplos anteriores, como 4 y 5 para simular "Amigos y números aleatorios".

¡De verdad!

La próxima vez que estés en una habitación con un grupo de personas, ¿por qué no averiguar si hay cumpleaños compartidos?

 

Nota al pie: en la vida real, los cumpleaños no se distribuyen de manera uniforme ... nacen más bebés en julio, agosto y septiembre. También los hospitales prefieren trabajar de lunes a viernes, no los fines de semana, por lo que hay más nacimientos a principios de semana. Y luego están los años bisiestos. Pero se entiende la idea.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).