Anualidades

Una anualidad es un ingreso o pago fijo durante un periodo de tiempo. (A pesar del nombre, no tiene que ser anual).

Ejemplo: Recibes $200 por semana durante 10 años.

¿Cómo se obtiene ese ingreso? ¡Lo compras!

Entonces:

Ejemplo: Compras una anualidad

Te cuesta $20,000

Y a cambio obtienes $400 al mes por 5 años

¿Es un buen trato?

Ejemplo (continuación):

$400 al mes por 5 años = $400 × 12 × 5 = $24,000

Parece un buen negocio ... recuperas más de lo que pones.

¿Por qué obtienes más ($24,000) que el costo original de la anualidad ($20,000)?

Porque el dinero ahora es más valioso que el dinero después.

Las personas que obtuvieron sus $20,000 pueden invertirlo y ganar intereses, o hacer otras cosas inteligentes para ganar más dinero.

Entonces, ¿cuánto debería costar una anualidad?

Valor de una anualidad

Primero: veamos el efecto de una tasa de interés del 10% (imagina una cuenta bancaria que gana un 10% de interés):

Ejemplo: 10% de interés en $1,000

$1,000 ahora pueden generar $1,000 x 10% = $100 en un año.

$1,000 ahora se convierten en $1,100 en un año.

valor actual $1000 vs valor futuro $1100

Entonces, $1,100 el próximo año es lo mismo que $ 1,000 ahora (con un 10% de interés).

El Valor Actual de $1,100 el próximo año es de $1,000

Entonces, al 10% de interés:

Ahora imaginemos una anualidad de 4 pagos anuales de $500.

Tu primer pago de $500 es el próximo año ... ¿cuánto vale eso ahora?

$500 ÷ 1.10 = $454.55 ahora (redondeado a centavos)

Tu segundo pago es en 2 años a partir de ahora. ¿Cómo calculamos eso? Calcula su valor un año antes y luego otro año antes:

$500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = $413.22 ahora

El tercer y cuarto pago también se pueden calcular a sus valores actuales:

$500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = $375.66 ahora
$500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = $341.51 ahora

Finalmente sumamos los 4 pagos (en el valor de hoy):

Valor de la anualidad = $454.55 + $413.22 + $375.66 + $341.51
Valor de la anualidad = $1,584.94

¡Hemos hecho nuestro primer cálculo de anualidad!

4 pagos anuales de $500 al 10% de interés valen $1,584.94 ahora

¿Qué tal otro ejemplo?

Ejemplo: Una anualidad de $400 por mes durante 5 años.

Considera una tasa de interés mensual del 1%.

12 meses al año, 5 años, eso es 60 pagos ... y MUCHOS cálculos.

Necesitamos un método más fácil. Afortunadamente hay una fórmula ordenada:

Valor Actual de la Anualidad: VA = P × 1 − (1+r)−n r

Primero, probémosla en nuestro ejemplo de $500 por 4 años.

La tasa de interés anual es del 10%, entonces r = 0.10

Hay 4 pagos, por lo que n=4, y cada pago es de $500, así que P = $500

VA = $500 × 1 − (1.10)−4 0.10
VA = $500 × 1 − 0.68301... 0.10
VA = $500 × 3.169865...
VA = $1584.93

Coincide con nuestra respuesta anterior (y es 1 centavo más precisa)

Ahora probemos en nuestro ejemplo de $400 por 60 meses:

La tasa de interés es del 1% por mes, entonces r = 0.01

Hay 60 pagos mensuales, entonces n=60, y cada pago es de $400, así que P = $400

VA = $400 × 1 − (1.01)−60 0.01
VA = $400 × 1 − 0.55045... 0.01
VA = $400 × 44.95504...
VA = $17,982.02

Ciertamente más fácil que 60 cálculos por separado.

Nota: usa la tasa de interés por periodo: para pagos mensuales usa la tasa de interés mensual, etc.

Ahora para el otro lado

¿Qué sucede si conoces el valor de la anualidad y deseas calcular los pagos?

Digamos que tienes $ 10,000 y deseas obtener un ingreso mensual por 6 años, ¿cuánto recibes cada mes (supón una tasa de interés mensual de 0.5%)?

Necesitamos cambiar el sujeto de la fórmula anterior

Empieza con:VA = P × 1 − (1+r)−n r
Voltea los lados:P × 1 − (1+r)−n r = VA
Multiplica ambos lados por r:P × (1 − (1+r)−n) = VA × r
Divide ambos lados entre 1 − (1+r)−n :P = VA × r 1 − (1+r)−n

Y tenemos:

P = VA × r 1 − (1+r)−n

 

Digamos que tienes $10,000 y deseas obtener un ingreso mensual por 6 años, ¿cuánto podrías recibir cada mes (supón una tasa de interés mensual de 0.5%)?

La tasa de interés mensual es 0.5%, entonces r = 0.005

Hay 6x12 = 72 pagos mensuales, así que n=72, y VA = $10,000

P = VA × r 1 − (1+r)−n
P = $10,000 × 0.005 1 − (1.005)−72
P = $10,000 × 0.016572888...
P = $165.73

¿Qué prefieres? ¿$10,000 ahora o 6 años con un monto de $165.73 al mes?

 

Nota al pie:

No es necesario que recuerdes esto, pero es posible que tengas curiosidad sobre cómo surge la fórmula:

Con n pagos P, y una tasa de interés r sumamos todo de esta forma:
P × 1 1+r + P × 1 (1+r)×(1+r) + P × 1 (1+r)×(1+r)×(1+r) + ... (n términos)

Los exponentes nos pueden ayudar. 1 1+r   es lo mismo que (1+r)−1 y 1 (1+r)×(1+r)  es (1+r)−2, etc:

P × (1+r)−1 + P × (1+r)−2 + P × (1+r)−3 + ... (n términos)

Y podemos llevar la "P" al frente de todos los términos:

P × [ (1+r)−1 + (1+r)−2 + (1+r)−3 + ... (n términos)]

¡Simplificar eso aún más es un poco más difícil! Necesitamos un trabajo ingenioso usando Series y Sucesiones Geométricas pero confía en mí, se puede hacer ... y se obtiene esto:

VA = P × 1 − (1+r)−n r

 

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).