Anualidades
Una anualidad es un ingreso o pago fijo durante un periodo de tiempo. (A pesar del nombre, no tiene que ser anual).
Ejemplo: Recibes $200 por semana durante 10 años.
Entonces:
- pagas una gran cantidad, luego
- te devuelven una serie de pequeños pagos a lo largo del tiempo
Ejemplo: Compras una anualidad
Te cuesta $20,000
Y a cambio obtienes $400 al mes por 5 años
¿Es un buen trato?
Ejemplo (continuación):
$400 al mes por 5 años = $400 × 12 × 5 = $24,000
Parece un buen negocio ... recuperas más de lo que pones.
Porque el dinero ahora es más valioso que el dinero después.
Las personas que obtuvieron sus $20,000 pueden invertirlo y ganar intereses, o hacer otras cosas inteligentes para ganar más dinero.
Entonces, ¿cuánto debería costar una anualidad?
Valor de una anualidad
Primero: veamos el efecto de una tasa de interés del 10% (imagina una cuenta bancaria que gana un 10% de interés):
Ejemplo: 10% de interés en $1,000
$1,000 ahora pueden generar $1,000 x 10% = $100 en un año.
$1,000 ahora se convierten en $1,100 en un año.
Entonces, $1,100 el próximo año es lo mismo que $
1,000 ahora (con un 10% de interés).
El Valor Actual de $1,100 el próximo año es de $1,000
Entonces, al 10% de interés:
- para ir de ahora al próximo año: multiplica por 1.10
- para ir de próximo año to ahora: divide entre 1.10
Ahora imaginemos una anualidad de 4 pagos anuales de $500.
Tu primer pago de $500 es el próximo año ... ¿cuánto vale eso ahora?
Tu segundo pago es en 2 años a partir de ahora. ¿Cómo calculamos eso? Calcula su valor un año antes y luego otro año antes:
El tercer y cuarto pago también se pueden calcular a sus valores actuales:
Finalmente sumamos los 4 pagos (en el valor de hoy):
¡Hemos hecho nuestro primer cálculo de anualidad!
4 pagos anuales de $500 al 10% de interés valen $1,584.94 ahora
¿Qué tal otro ejemplo?
Ejemplo: Una anualidad de $400 por mes durante 5 años.
Considera una tasa de interés mensual del 1%.
Necesitamos un método más fácil. Afortunadamente hay una fórmula ordenada:
Valor Actual de la Anualidad: VA = P × 1 − (1+r)−n r
- P es el valor de cada pago
- r es la tasa de interés por período, en decimal, entonces 10% es 0.10
- n es el número de periodos
Primero, probémosla en nuestro ejemplo de $500 por 4 años.
La tasa de interés anual es del 10%, entonces r = 0.10
Hay 4 pagos, por lo que n=4, y cada pago es de $500, así que P = $500
Coincide con nuestra respuesta anterior (y es 1 centavo más precisa)
Ahora probemos en nuestro ejemplo de $400 por 60 meses:
La tasa de interés es del 1% por mes, entonces r = 0.01
Hay 60 pagos mensuales, entonces n=60, y cada pago es de $400, así que P = $400
Ciertamente más fácil que 60 cálculos por separado.
Nota: usa la tasa de interés por periodo: para pagos mensuales usa la tasa de interés mensual, etc.
Ahora para el otro lado
¿Qué sucede si conoces el valor de la anualidad y deseas calcular los pagos?
Digamos que tienes $ 10,000 y deseas obtener un ingreso mensual por 6 años, ¿cuánto recibes cada mes (supón una tasa de interés mensual de 0.5%)?
Necesitamos cambiar el sujeto de la fórmula anterior
Y tenemos:
P = VA × r 1 − (1+r)−n
- P es el valor de cada pago
- VA es el Valor Actual de la Anualidad
- r es la tasa de interés por periodo en decimal, por lo que 10% es 0.10
- n es el número de periodos
Digamos que tienes $10,000 y deseas obtener un ingreso mensual por 6 años, ¿cuánto podrías recibir cada mes (supón una tasa de interés mensual de 0.5%)?
La tasa de interés mensual es 0.5%, entonces r = 0.005
Hay 6x12 = 72 pagos mensuales, así que n=72, y VA = $10,000
¿Qué prefieres? ¿$10,000 ahora o 6 años con un monto de $165.73
al mes?
Nota al pie:
No es necesario que recuerdes esto, pero es posible que tengas curiosidad sobre cómo surge la fórmula:Con n pagos P, y una tasa de interés r sumamos todo de esta forma:
Los exponentes nos pueden ayudar. 1 1+r es lo mismo que (1+r)−1 y 1 (1+r)×(1+r) es (1+r)−2, etc:
Y podemos llevar la "P" al frente de todos los términos:
¡Simplificar eso aún más es un poco más difícil! Necesitamos un trabajo ingenioso usando Series y Sucesiones Geométricas pero confía en mí, se puede hacer ... y se obtiene esto:
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).