La Ley de Benford
No hagas trampa con los números ya que podrían
delatarte.
Eso dice la Ley de Benford.
Los primeros dígitos
¿Con qué frecuencia esperarías que un "1" sea el primer dígito de un conjunto de números?
Ejemplo: estás viendo una lista de gastos, con números como:
- $65.20 (el primer dígito es 6)
- $35.00 (el primer dígito es 3)
- $7.50 (el primer dígito es 7)
- $12.50 (el primer dígito es 1)
¿Habría la misma cantidad de 1's que de 2's como primer dígito?
Bueno, 1 simplemente es un número, al igual que del 2 al 9, ¿cierto?
Entonces parece que debería ser el primer dígito 1 de cada 9 veces (aproximadamente el 11%):
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
11% | 11% | 11% | 11% | 11% | 11% | 11% | 11% | 11% |
¡Pero no!
Un hombre llamado Dr. Frank Benford descubrió que en muchos casos, el
número 1 es el primer dígito aproximadamente
el 30% de las veces.
Y el viejo y conocido 9 es el primer
dígito tan solo el 5% de las veces.
La historia cuenta que un hombre llamado Simon Newcomb notó que un
libro de logaritmos estaba
muy gastado al principio pero no al final.
"¿Por qué la gente está más interesada en 1 y 2 que en 8 y 9?"
¡Decidió investigar! (¿Investigarías algo así de extraño?)
El Dr. Benford descubrió que esto también sucedió con las estadísticas del béisbol, áreas de ríos, tamaños de población, direcciones de calles y muchos otros casos.
¿Por qué ocurre esto?
Bueno, pensemos por ejemplo en las direcciones postales:
¿Cuáles son los primeros dígitos de los números de las casas?
- algunas calles son cortas: 1,2,3,4,5,6
- algunas calles son más largas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 (observa cuántas tienen 1 como primer dígito).
- otras calles son un poco más largas, con números del 1 al 30 (muchos "1" y "2")
- Y cuando las calles son muy largas, tenemos muchas a partir de las 100.
El resultado es que los números que comienzan con 1 son más comunes, 2 también es bastante común y 9 menos común.
Ejemplo: precios de acciones
Digamos que un precio comienza en 1.00 y sube un 10% cada periodo:
Precio | Primer Dígito |
---|---|
1.00 | 1 |
1.10 | 1 |
1.21 | 1 |
1.33 | 1 |
1.46 | 1 |
1.61 | 1 |
1.77 | 1 |
1.95 | 1 |
2.14 | 2 |
2.36 | 2 |
2.59 | 2 |
2.85 | 2 |
3.14 | 3 |
3.45 | 3 |
3.80 | 3 |
4.18 | 4 |
4.59 | 4 |
5.05 | 5 |
5.56 | 5 |
6.12 | 6 |
6.73 | 6 |
7.40 | 7 |
8.14 | 8 |
8.95 | 8 |
9.85 | 9 |
Muchos 1's, bastantes 2's, menos 3's, etc.
El resultado
De hecho, Benford calculó que la probabilidad de que un primer dígito sea d es:
P(d) = log10(1 + 1/d)
Ejemplo: la probabilidad de que un primer dígito sea 2:
Y estas son las probabilidades:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
30.1% | 17.6% | 12.5% | 9.7% | 7.9% | 6.7% | 5.8% | 5.1% | 4.6% |
Ejemplo: Luisa revisó una lista de 100 gastos de trabajo para el año.
En la lista había anotados $1.95 por un bolígrafo, $4.95 por un marcador, etc. Aquí están los conteos de los primeros dígitos:
Primer Dígito: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Conteo: | 26 | 19 | 10 | 11 | 9 | 15 | 2 | 5 | 4 |
Sigue bastante bien la Ley de Benford.
Excepto que hay muchos "6", porque el papel de impresora cuesta $6 y en su trabajo compran mucho.
Loterías
Los números de las loterías no siguen esta regla, porque no representan el tamaño o la cantidad de nada. En realidad son solo símbolos (y una lotería funcionaría también usando letras o imágenes).
Buscando tramposos
Cuando las personas intentan falsificar números, a menudo eligen el
primer dígito al azar y terminan con tantos "9's" como "1's".
Pero un programa de computadora puede revisar todos los números y contar
los primeros dígitos para ver con qué frecuencia aparece un "1" en
comparación con un "5" o un "9". Si parece sospechoso ... ¡ten cuidado!
Esto puede ayudar a descubrir trampas fiscales, manipulación electoral y
más.
Tu turno
Haz una lista de 100 números de una categoría de tu elección. Asegúrate de que los números cuenten o midan algo (en lugar de que sean solo símbolos).Aquí hay algunas sugerencias:
- Números de casa
- Poblaciones de la ciudad
- Precios de supermercado
- Precios de autos usados
Encuentra sus primeros dígitos y completa esta tabla:
Primer Dígito: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Cuenta: |
¿Qué encontraste?
Actividad extra
Pídele a algunos amigos que hagan listas de compras simuladas anotando el costo de cada artículo. Encuentra los primeros dígitos y colócalos en una tabla:
Primer Dígito: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Cuenta: |
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