¿Es 0.999... = 1 ?

La idea es que 0.9 periódico
(0.999... con los dígitos continuando para siempre)
en realidad es igual a 1

¿Es esto realmente cierto?

¡Tú decides! Pero aquí te damos algunos buenos argumentos de por qué lo es.

Tres tercios

Comenzamos con:13 = 0.333... Multiplicamos por 3:33 = 3 × 0.333... Así que:1 = 0.999...

Usando álgebra

Comencemos definiendo x = 0.999...

x = 0.999...

10x = 9.999...

Restamos x de cada lado para obtener:

9x = 9.999... − x

pero sabemos que x es 0.999..., así que:

9x = 9.999... − 0.999...

9x = 9

Dividimos ambos lados entre 9:

x = 1

Pero espera un momento, ¿no habíamos dicho que x era igual a 0.999... ?

Sí, así es, pero según nuestros cálculos x también es igual a 1, por lo que:

x = 0.999... = 1

Y por lo tanto:

0.999... = 1

¿Cuántos nueves?

Si 0.999... y 1 son el mismo número, entonces su diferencia será cero.

1 nueve:1 − 0.9 = 0.1 2 nueves:1 − 0.99 = 0.01 3 nueves:1 − 0.999 = 0.001 0.001 = 110³:1 − 0.999 = 110³ n nueves:1 − 0.(n nueves) = 110ⁿ

A medida que n tiende a infinito, 110ⁿ tiende a cero.

Por lo tanto, la diferencia entre 1 y 0.999... es cero

0.999... = 1

Series geométricas infinitas

Podemos pensar en 0.999... como:

= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... = 0.9×0.1⁰ + 0.9×0.1¹+ 0.9×0.1² + ...

Esta es una serie geométrica infinita donde a = 0.9 y r = 0.1, y la serie es convergente porque r está entre −1 y +1. La fórmula para la suma es:

a1 − r

Así que nuestra suma es igual a:

0.91 − 0.1 = 0.90.9 = 1

0.999... = 1

Nota al pie: usamos 0.999... como notación para 0.9 periódico; algunas personas colocan una línea o un pequeño punto sobre el 9, así: 0.9