Simetría en las Ecuaciones
Las ecuaciones pueden tener simetría:
Gráfica de x2
Simetría respecto al eje y
Gráfica de 1/x
Simetría diagonal
Los principales tipos de simetría son:
- simetría respecto al eje y: reflejo sobre el eje y
- simetría respecto al eje x: reflejo sobre el eje x
- simetría diagonal: reflejo sobre la recta y = x
- simetría respecto al origen: un giro de media vuelta (rotación de 180°) alrededor del origen
Beneficios
Los beneficios de encontrar simetría en una ecuación son:
- entendemos mejor la ecuación
- es más fácil de graficar
- puede ser más fácil de resolver. Cuando encontramos una solución en un lado, podemos decir "también, por simetría, el (valor reflejado)"
Cómo Verificar la Simetría
A menudo podemos ver la simetría visualmente, pero para estar realmente seguros debemos verificar un hecho simple:
¿La ecuación no cambia cuando se usan valores simétricos?
Veamos cómo hacerlo.
Para la simetría respecto al eje Y
Para la simetría con respecto al eje Y, verifica si la ecuación es la misma cuando reemplazamos x con −x:
Nota:
- La simetría respecto al eje y (reflejo de izquierda a derecha) cambia x por −x
- La simetría respecto al eje x (reflejo de arriba a abajo) cambia y por −y
Ejemplo: ¿es y = x2 simétrica respecto al eje y?
Intenta reemplazar x con −x:
y = (−x)2
Dado que (−x)2 = x2 (multiplicar un negativo por un negativo da un positivo), no hay cambio
Así que y = x2 es simétrica respecto al eje y
Cuando una gráfica tiene simetría respecto al eje y, cualquier punto (x, y) en la gráfica tiene un punto correspondiente (−x, y) en la gráfica.
Para la simetría respecto al eje X
Para la simetría con respecto al eje X, verifica si la ecuación es la misma cuando reemplazamos y con −y:
Ejemplo: ¿es y = x3 simétrica respecto al eje x?
Intenta reemplazar y con −y:
−y = x3
Ahora intenta obtener la ecuación original:
Intenta multiplicar ambos lados por −1:
y = −x3
Es diferente.
Por lo que y = x3 no es simétrica respecto al eje x
Ejemplo: ¿es x = y2 simétrica respecto al eje x?
(Nota: esto no es y = x2, sino x = y2).
Intenta reemplazar y con −y:
x = (−y)2
Dado que cualquier número negativo al cuadrado se vuelve positivo, (−y)2 = y2. La ecuación se convierte en:
x = y2
¡No hay cambio respecto a la ecuación original!
Por lo tanto, x = y2 es simétrica respecto al eje x.
Nota: esta ecuación no es una auténtica función, ya que tiene más de un valor de y para un valor de x dado.
Cuando una gráfica tiene simetría respecto al eje x, cualquier punto (x, y) en la gráfica tiene un punto correspondiente (x, −y) en la gráfica.
Simetría Diagonal
Intenta intercambiar y y x (es decir, reemplaza y con x y x con y).
¡Cuando una función tiene simetría diagonal, es su propia inversa!
Ejemplo: ¿y = 1/x tiene simetría diagonal?
Empieza con:
y = 1/x
Intenta intercambiar y y x:
x = 1/y
Ahora reorganiza eso: multiplica ambos lados por y:
xy = 1
Luego divide ambos lados entre x:
y = 1/x
Y tenemos la ecuación original. Son iguales.
Por lo tanto, y = 1/x tiene simetría diagonal
Simetría respecto al origen
La Simetría respecto al origen es cuando cada parte tiene una parte correspondiente:
- a la misma distancia del punto central
- pero en dirección opuesta.
Verifica si la ecuación es la misma cuando reemplazamos tanto x con −x como y con −y.
Ejemplo: ¿y = 1/x tiene simetría respecto al origen?
Empieza con:
y = 1/x
Reemplaza x con −x y y con −y:
(−y) = 1/(−x)
Multiplica ambos lados por −1:
y = 1/x
Y tenemos la ecuación original.
Por lo tanto, y = 1/x tiene simetría respecto al origen
¡Asombroso! y = 1/x tiene simetría respecto al origen así como simetría diagonal.