Inducción Matemática
La Inducción Matemática es una forma especial de probar cosas. Tiene solo 2 pasos:
- Paso 1. Demuestra que es verdadero para el primero
- Paso 2. Demuestra que si alguno es verdadero, entonces el siguiente es verdadero
Entonces todos son verdaderos
¿Has oído hablar del "Efecto Dominó"?
- Paso 1. La primera ficha de dominó cae
- Paso 2. Cuando cualquier ficha de dominó cae, la siguiente ficha también cae
De modo que... ¡todas las fichas caerán!
Así es como funciona la Inducción Matemática.
En el mundo de los números decimos:
- Paso 1. Demuestra que es verdadero para el primer caso, generalmente n=1
- Paso 2. Demuestra que si n=k es verdadero, entonces n=k+1 también es verdadero
Cómo se hace
El paso 1 suele ser fácil, solo tenemos que demostrar que es verdadero para n=1
El paso 2 se hace mejor de esta manera:
- Supón que es verdadero para n=k
- Demuestra que es verdadero para n=k+1 (podemos usar el caso n=k como un hecho.)
Es como decir "SI podemos hacer caer una ficha de dominó, ¿CAERÁ la siguiente?"
El paso 2 a menudo puede ser complicado, ¡es posible que necesitemos usar trucos imaginativos para que funcione!
Como en este ejemplo:
Ejemplo: ¿es 3n − 1 un múltiplo de 2?
¿Es eso cierto? Vayamos a averiguarlo.
1. Demuestra que es verdadero para n=1
31 − 1 = 3 − 1 = 2
Sí, 2 es un múltiplo de 2. Eso fue fácil.
31 − 1 es verdadero
2. Supón que es verdadero para n=k
3k − 1 es verdadero
(¡Un momento! ¿Cómo lo sabemos? ¡No lo sabemos!
Es una suposición ... que tratamos
como un hecho para el resto de este ejemplo)
Ahora, demuestra que 3k+1 − 1 es un múltiplo de 2
3k+1 es también 3×3k
Y luego separamos 3× en 2× y 1×
Y cada uno de estos son múltiplos de 2
Porque:
- 2×3k es un múltiplo de 2 (estamos multiplicando por 2)
- 3k − 1 es verdadero (dijimos eso en la suposición anterior)
Así:
3k+1 − 1 es verdadero
¡LISTO!
¿Viste cómo usamos el caso 3k − 1 como verdadero, aunque no lo habíamos demostrado? Eso está bien, porque confiamos en el Efecto Dominó ...
... nos preguntamos, ¿si alguna ficha de dominó cae, caerá la siguiente?
Así que lo tomamos como un hecho (temporalmente) que la ficha "n=k" cae (es decir, 3k − 1 es verdadero), y vemos si eso significa que la ficha "n=k+1" también caerá.
Trucos
Mencioné antes que a menudo necesitamos usar trucos imaginativos.
Un truco común es reescribir el caso n=k+1 en 2 partes:
- una parte es el caso n=k (que se supone que es verdadero)
- la otra parte se puede verificar para ver si también es verdadera
Lo hicimos en el ejemplo anterior, y aquí hay otro:
Ejemplo: Sumando números impares
1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n2
1. Demuestra que es verdadero para n=1
1 = 12 es verdadero
2. Supón que es verdadero para n=k
1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) = k2 es verdadero
(¡Una suposición!)
Ahora, demuestra que es verdadero para "k+1"
1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) + (2(k+1)−1) = (k+1)2 ?
Sabemos que 1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) = k2 (por la suposición anterior), así que podemos hacer una sustitución para todos los términos excepto el último:
k2 + (2(k+1)−1) = (k+1)2
Ahora desarrolla todos los términos:
k2 + 2k + 2 − 1 = k2 + 2k+1
Y simplifica:
k2 + 2k + 1 = k2 + 2k + 1
¡Son iguales! Así que es verdadero.
Por lo tanto:
1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1)−1) = (k+1)2 es verdadero
¡LISTO!
Tu turno
Ahora, aquí hay dos ejemplos más para que practiques.
Por favor, inténtalos primero tú mismo, luego mira nuestra solución a continuación.
Ejemplo: Números triangulares
Los números triangulares son números que pueden formar un patrón de puntos triangular.
Demuestra que el n-ésimo número triangular es:
Tn = n(n+1)/2
Ejemplo: Sumando números cúbicos
Los números cúbicos son los cubos de los números naturales
Demuestra que:
13 + 23 + 33 + ... + n3 = ¼n2(n + 1)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Por favor, no leas las soluciones hasta que hayas intentado resolverlos tú mismo, ¡estos son los únicos ejercicios en esta página para que practiques!
Ejemplo: Números triangulares
Demuestra que el n-ésimo número triangular es:
Tn = n(n+1)/2
1. Demuestra que es verdadero para n=1
T1 = 1 × (1+1) / 2 = 1 es verdadero
2. Supón que es verdadero para n=k
Tk = k(k+1)/2 es verdadero (¡Una suposición!)
Ahora, demuestra que es verdadero para "k+1"
Tk+1 = (k+1)(k+2)/2 ?
Sabemos que Tk = k(k+1)/2 (por la suposición anterior)
Tk+1 tiene una fila extra de (k + 1) puntos
Por lo tanto, Tk+1 = Tk + (k + 1)
(k+1)(k+2)/2 = k(k+1) / 2 + (k+1)
Multiplica todos los términos por 2:
(k + 1)(k + 2) = k(k + 1) + 2(k + 1)
(k + 1)(k + 2) = (k + 2)(k + 1)
¡Son iguales! Así que es verdadero.
Por lo tanto:
Tk+1 = (k+1)(k+2)/2 es verdadero
¡LISTO!
Ejemplo: Sumando números cúbicos
Demuestra que:
13 + 23 + 33 + ... + n3 = ¼n2(n + 1)2
1. Demuestra que es verdadero para n=1
13 = ¼ × 12 × 22 es verdadero
2. Supón que es verdadero para n=k
13 + 23 + 33 + ... + k3 = ¼k2(k + 1)2 es verdadero (¡Una suposición!)
Ahora, demuestra que es verdadero para "k+1"
13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2 ?
Sabemos que 13 + 23 + 33 + ... + k3 = ¼k2(k + 1)2 (por la suposición anterior), por lo que podemos hacer una sustitución para todos los términos excepto el último:
¼k2(k + 1)2 + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2
Multiplica todos los términos por 4:
k2(k + 1)2 + 4(k + 1)3 = (k + 1)2(k + 2)2
Todos los términos tienen un factor común (k + 1)2, así que se puede cancelar:
k2 + 4(k + 1) = (k + 2)2
Y simplifica:
k2 + 4k + 4 = k2 + 4k + 4
¡Son iguales! Así que es verdadero.
Por lo tanto:
13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2 es verdadero
¡LISTO!