Inducción Matemática
La Inducción Matemática es una forma especial de probar cosas. Tiene solo 2 pasos:
- Paso 1. Mostrar que es verdad para el primero
- Paso 2. Demuestra que si alguno es verdadero, entonces el siguiente es verdadero
Entonces todo es verdadero.
¿Has oído hablar del "Efecto Dominó"?
- Paso 1. La primera ficha de dominó cae
- Paso 2. Cuando se cae cualquier ficha de dominó, también se cae la siguiente.
De modo que....¡Todas las fichas se caen!
Así es como funciona la Inducción Matemática.
En el mundo de los números decimos:
- Paso 1. Demuestra que es cierto para el primer caso, generalmente n=1
- Paso 2. Demuestra que si n=k es verdadero, entonces n=k+1 también es verdadero
Cómo hacerlo
El paso 1 suele ser fácil, solo tenemos que demostrar que es cierto para n=1El paso 2 se hace mejor de esta manera:
- Supón que es válido para n=k
- Demuestra que es verdad para n=k+1 (puedes usar el caso n=k como verdadero.)
Es como decir "SI podemos hacer caer una ficha de dominó, ¿CAERÁ la próxima?"
El paso 2 a menudo puede ser complicado, ¡es posible que
necesitemos usar trucos imaginativos para que funcione!
Como en este ejemplo:
Ejemplo: ¿es 3n−1 un múltiplo de 2?
¿Es eso cierto? Vayamos a averiguarlo.
1. Mostremos que es verdad para n=1
31−1 = 3−1 = 2
Sí, 2 es un múltiplo de 2. Eso fue fácil.
31−1 es verdadero
2. Supongamos que se cumple para n=k
3k−1 es verdadero
(¡Un momento! ¿Cómo lo sabemos? ¡De hecho no lo
sabemos!
Es una suposición ... que tratamos
como un hecho para el resto de este ejemplo).
Ahora, demostremos que 3k+1−1 es múltiplo de 2
3k+1 es lo mismo que 3×3k
Y ahora separamos 3× en 2× + 1×
Y cada uno de estos son múltiplos de 2
Porque:
- 2×3k es un múltiplo de 2 (estamos multiplicando por 2)
- 3k−1 is true (dijimos eso nuestra suposición anterior)
Así que :
3k+1−1 es verdadero
¡LISTO!
¿Viste cómo usamos el caso 3k−1 como cierto, aunque no lo habíamos probado? Eso está bien, porque confiamos en el Efecto Dominó ...
... nos preguntamos, si alguna pieza cae, ¿caerá la siguiente?.
Entonces, tomamos como un hecho (temporalmente) que la ficha de dominó "n=k" cae (es decir, 3k−1 es cierto), y vemos si eso significa que la ficha de dominó "n=k+1" también caerá.Trucos
Mencioné antes que a menudo necesitamos usar trucos imaginativos.
Un truco común es reescribir el caso n=k+1 en 2 partes:
- una parte es el caso n=k (que se supone que es cierto)
- la otra parte se puede verificar para ver si también es cierta
Lo hicimos en el ejemplo anterior, y aquí hay otro:
Ejemplo: Sumando números impares
1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n2
1. Muestra que es verdad para n=1
1 = 12 es verdadero
2. Supón que se cumple para n=k
1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) = k2 es verdadero
(¡Como suposición!)
Ahora, demuestra que es verdad para"k+1"
¿ 1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) + (2(k+1)−1) = (k+1)2 ?
Se sabe que 1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) = k2 (por la suposición anterior), entonces se puede hacer un reemplazo para todos menos el último término:
k2 + (2(k+1)−1) = (k+1)2
Ahora desarrolla los términos:
k2 + 2k + 2 − 1 = k2 + 2k+1
Y simplifica:
k2 + 2k + 1 = k2 + 2k + 1
¡Son iguales! Entonces es verdad.
Finalmente se tiene que:
1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1)−1) = (k+1)2 es verdadero
¡LISTO!
Tu turno
Ahora, aquí hay dos ejemplos más para que tú practiques.Por favor, inténtalos primero tú mismo, luego mira nuestra solución a continuación.
Ejemplo: Números Triangulares
Los Números Triangulares son números que pueden hacer un patrón de puntos triangular.
Demuestra que el n-ésimo número triangular es:
Tn = n(n+1)/2
Ejemplo: Sumando Números Cúbicos
Los Números Cúbicos son los cubos de los números naturales.
Demuestra que:
13 + 23 + 33 + ... + n3 = ¼n2(n + 1)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Por favor, no leas las soluciones hasta que hayas intentado las demostraciones tú mismo, ¡éstas son los únicos ejercicios en esta página para que practiques!
Ejemplo: Números Triangulares
Demuestra que el n-ésimo número triangular es:
Tn = n(n+1)/2
1. Muestra que es verdad para n=1
T1 = 1 × (1+1) / 2 = 1 es verdadero
2. Supón que se cumple para n=k
Tk = k(k+1)/2 es verdadero (¡Como suposición!)
Ahora, prueba que se cumple para "k+1"
¿ Tk+1 = (k+1)(k+2)/2 ?
Se sabe que Tk = k(k+1)/2 (la suposición anterior)
Tk+1 tiene una fila extra de (k + 1) puntos
Así, Tk+1 = Tk + (k + 1)
(k+1)(k+2)/2 = k(k+1) / 2 + (k+1)
Multiplica todos los términos por 2:
(k + 1)(k + 2) = k(k + 1) + 2(k + 1)
(k + 1)(k + 2) = (k + 2)(k + 1)
¡Son iguales! Entonces es verdad.Entonces:
Tk+1 = (k+1)(k+2)/2 es verdadero
¡LISTO!
Ejemplo: Sumando Números Cúbicos
Demuestra que:
13 + 23 + 33 + ... + n3 = ¼n2(n + 1)2
1. Muestra que es verdad para n=1
13 = ¼ × 12 × 22 es verdadero
2. Supón que se cumple para n=k
13 + 23 + 33 + ... + k3 = ¼k2(k + 1)2 es verdadero (¡Como suposición!)
Ahora, prueba que se cumple para "k+1"
¿ 13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2 ?
Se sabe que 13 + 23 + 33 + ... + k3 = ¼k2(k + 1)2 (el supuesto anterior), por lo que se puede hacer un reemplazo para todos menos el último término:
¼k2(k + 1)2 + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2
Multiplica todos los términos por 4:
k2(k + 1)2 + 4(k + 1)3 = (k + 1)2(k + 2)2
Todos los términos tienen un factor común (k + 1)2, así que puede ser cancelado:
k2 + 4(k + 1) = (k + 2)2
Ahora simplifica:k2 + 4k + 4 = k2 + 4k + 4
¡Son iguales! Entonces es verdad.Finalmente:
13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2 es verdadero
¡LISTO!
