Teorema del Valor Intermedio
La idea detrás del Teorema del Valor Intermedio es ésta:
Cuando tenemos dos puntos conectados por una curva continua:
- un punto debajo de la línea
- el otro punto sobre la línea
¡Pues claro que debemos cruzar la línea para llegar de A a B!
Ahora que conoces la idea, veamos más de cerca los detalles.
Continua
La curva debe ser continua ... sin huecos ni saltos en ella.
Continuidad es un término especial con una definición exacta en cálculo, pero aquí usaremos esta definición simplificada:
La podemos dibujar sin
levantar el lápiz del papel.
Más formalidad
Aquí está el Teorema del Valor Intermedio establecido más formalmente:
Cuando:
- La curva es la función y = f(x),
- la cual es continua en el intervalo [a, b],
- y w es un número entre f(a) y f(b),
Entonces...
... debe haber al menos un valor c dentro de [a, b] tal que f(c) = w
En otras palabras, la función y = f(x) en algún punto debe ser w = f(c)
Observa que:
- w está entre f(a) y f(b), lo cual nos lleva a que ...
- c debe estar entre a y b
Al menos uno
También
dice "al menos un valor c", lo que significa que podríamos tener
más.Aquí, por ejemplo, hay 3 puntos donde f(x)=w:
¿Cómo es esto útil?
Siempre que podamos mostrar eso:- hay un punto encima de alguna línea
- y un punto debajo de esa línea, y
- que la curva es continua
Ejemplo: ¿existe solución para x5 - 2x3 - 2 = 0 entre x=0 y x=2?
En x=0:
05 - 2 × 03 - 2 = -2
En x=2:
25 - 2 × 23 - 2 = 14
Ahora sabemos:
- en x=0, la curva está debajo de cero
- en x=2, la curva está por encima de cero
Y, al ser un polinomio, la curva será continua,
así que en algún punto intermedio de la curva debe cruzar y=0
Sí, existe solución para x5 - 2x3 - 2 = 0 en el intervalo [0, 2]
¡Una cosa interesante!
El Teorema del Valor Intermedio puede arreglar una tabla tambaleante
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Si tu mesa se tambalea debido a un suelo irregular ... ... ¡simplemente gira la mesa para arreglarlo! El suelo debe ser continuo (no hay desniveles como cuando hay azulejos mal colocados). |
¿Por qué funciona esto?
Siempre podemos tener 3 patas en el suelo, la cuarta pata es el
problema.
Imagina que estamos girando la mesa, y que la cuarta pata podría
de alguna manera ir al suelo (como arena):
- en algún momento estará por encima del suelo
- en otro punto estará debajo del suelo
Por lo tanto, debe haber algún punto en el que la cuarta pata toque
perfectamente el suelo y la mesa no se tambalee.
(El famoso Martin Gardner escribió sobre esto en Scientific American.
También hay una prueba muy complicada en alguna parte).
Otro
En algún momento durante un viaje de ida y vuelta estarás
exactamente con la misma altitud como donde empezaste.
La idea es:
- en algún momento estarás en un lugar más alto que donde empezaste
- en otro punto estarás en un lugar más bajo que donde empezaste
Ah, y tu camino debe ser continuo, sin desaparecer y reaparecer en otro lugar.
Lo mismo sucede con la temperatura, la presión, etc.
¡Y hay más!
Si sigues un camino circular ... en algún lugar de ese círculo habrá puntos que estén:- directamente uno frente al otro
- ¡y a la misma altura!
dos puntos que están
directamente opuestos y a la misma altura
¿Puedes pensar en más ejemplos?
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
