Producto Cruz
Un vector tiene magnitud (qué tan largo es) y dirección:
Dos vectores pueden multiplicarse usando el "Producto Cruz", que también se llama Producto Vectorial (por cierto, también puedes leer acerca del Producto Punto)
El Producto Cruz a × b de dos vectores es otro vector que está en ángulo recto respecto a ambos:
¡Y todo sucede en 3 dimensiones!
La magnitud (longitud) del producto vectorial es igual al área de un paralelogramo con los vectores a y b como sus lados:
El producto vectorial (azul) tiene estas características:
- tiene longitud cero cuando los vectores a y b apuntan en la misma dirección o en dirección opuesta
- alcanza la longitud máxima cuando los vectores a y b están en ángulo recto
Entonces, ¿cómo lo calculamos?
Calcular
Podemos calcular el producto cruz de esta manera:
a × b = |a| |b| sen(θ) n
- |a| es la magnitud (longitud) del vector a
- |b| es la magnitud (longitud) del vector b
- θ es el ángulo entre a y b
- n es el vector unitario en ángulo recto a ambos a y b
Luego, multiplicamos por el vector n para que se dirija en la dirección correcta (en ángulo recto con respecto a a y b).
O lo podemos calcular de esta manera:
Cuando a y b comienzan en el origen (0,0,0), el producto cruz terminará en:
- cx = aybz − azby
- cy = azbx − axbz
- cz = axby − aybx
Ejemplo: el producto cruz de a = (2,3,4) y b = (5,6,7)
- cx = aybz − azby = 3×7 − 4×6 = −3
- cy = azbx − axbz = 4×5 − 2×7 = 6
- cz = axby − aybx = 2×6 − 3×5 = −3
Respuesta: a × b = (−3,6,−3)
¿Y en qué dirección?
El producto cruz podría apuntar en la dirección completamente opuesta y aún estar en ángulo recto con los otros dos vectores, por lo que tenemos la:
"Regla de la Mano Derecha"
Con tu mano derecha, apunta tu dedo índice a lo largo del vector a, y apunta tu dedo medio a lo largo del vector b: el producto cruz va en la dirección de tu pulgar.
Producto punto
El producto cruz da como resultado un vector, por lo que también se conoce como producto vectorial, como se comentó más arriba en esta página.
Por otro lado, también está el Producto Punto, que da un escalar (un número) como respuesta, y por ello a veces se le llama producto escalar.
Pregunta: ¿Qué obtienes cuando cruzas un elefante con una banana?
Respuesta: |elefante| |banana| sen(θ) n
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
