Conjuntos contables y el infinito
Los números para contar {1, 2, 3, 4, 5,...} son contables (o numerables).
También es contable cualquier conjunto que pueda disponerse en una relación uno a uno con los números para contar.
Ejemplo: los números enteros {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...} son contables.
A la izquierda están los números de conteo. A la derecha están los números enteros que comienzan en 0, luego 1, luego va a –1, luego va a 2, luego –2, etc.:
La lista es eterna y tiene todos los números para contar y todos los números enteros.
Entonces los números contables y los números enteros tienen el mismo número de elementos (la misma "cardinalidad"). Sorprendente.
Nota: la relación entre el número entero y el número de conteo se puede escribir así:
- n → 2n, para n>0
- n → –2n+1, para n≤0
¿Por qué no probar esta relación con algunos números enteros para ver si funciona?
Pares e impares
Podemos usar un método similar para demostrar que los números pares son contables, al igual que los impares.
Racional
Los números racionales (la relación de dos números enteros como 12=0.5, 21=2, 9910=9.9, etc.) también son contables.
Una buena forma de pensarlo es esta tabla:
Tiene todos los números racionales positivos.
También se puede recorrer uno a la vez, por lo que tiene una relación uno a uno con los números contables, por lo que los racionales son contables.
Infinito contable
Un conjunto finito como {1, 2, 3} también es contable, pero no es "infinito contable".
Entonces un conjunto contable puede ser finito o infinito contable.
¿Y lo reales?
¡PERO los números reales y muchos otros conjuntos infinitos no son contables!
¿Cómo lo sabemos?
Digamos que enumeras números reales de esta forma (en algún orden interesante que elijas):
Dices que "ahí están todos".
Pero invento un número real tomando un dígito de cada número de tu lista y alterándolo. Tomo el primer dígito de tu primer número, el segundo de tu segundo número y así sucesivamente, cambiando cada dígito a medida que avanzo:
¡Ese nuevo número no puede estar en tu lista! Quizá podrías decir "pero es el número 761 en mi lista", y luego digo "¡entonces su dígito 761 será diferente!"
Por tanto, es imposible tener una relación uno a uno entre los números contables y los números reales.
Piénsalo de esta manera: a diferencia de los números enteros, siempre podemos descubrir nuevos números reales entre otros números reales, sin importar cuán pequeña sea la brecha.
Cardinalidad
La cardinalidad es la cantidad de elementos que hay en un conjunto.
Ejemplo: el conjunto {5, 7, 8} tiene cardinalidad 3.
Hay infinitos números enteros, ¡pero hemos demostrado que hay MÁS números reales!
Y entonces tenemos diferentes niveles de infinito...
... y hay letras especiales para indicar diferentes tamaños de infinito:
- ℵ0 (álef-cero) es la cardinalidad de los números contables
- ℵ1 (álef-uno) es la cardinalidad del conjunto infinito más pequeño mayor que ℵ0
- c (o el continuo) es la cardinalidad de los números reales
ℵ1 y c posiblemente sean iguales, o tal vez no: esto se conoce como la "Hipótesis del Continuo".
Nota: En Matemáticas c es el continuo,
pero en Física c es la rapidez
de la luz en el vacío.
Conclusión
- Cualquier conjunto que pueda disponerse en una relación uno a uno con los números que se cuentan es contable.
- Son contables los números enteros, los números racionales y muchos conjuntos más.
- Cualquier conjunto finito es contable pero no "infinito
contable".
- Los números reales no son contables.
- La cardinalidad es la cantidad de elementos que hay en un conjunto.
- ℵ0 (álef-cero) es la cardinalidad de los números contables, c (o continuo) es la cardinalidad de los números reales.
