Teoría de Juegos: Estrategia Mixta

Ejemplo: ¡Gol!

Es una tanda de penaltis y te toca patear por tu equipo. ¿Hacia dónde deberías patear?

Si siempre pateas a la derecha, el portero siempre puede ir a la derecha y atajarte.

¿Entonces es mejor 50-50? ¿Quizás lanzar una moneda cada vez?

Pero un jugador a menudo es mejor de un lado. Digamos que normalmente marcas el 40% de las veces cuando pateas a la izquierda, y el 70% cuando pateas a la derecha:

(Explicación: si ambos van a la izquierda, no hay gol. Lo mismo si ambos van a la derecha. Pero, por ejemplo, para "Patear Derecha, Atajar Izquierda" marcas 0.7 de las veces.)

Ahora divirtámonos e intentemos engañar al portero.

• Si siempre pateamos a la izquierda, siempre atajarán a la izquierda: resultado 0
• Si siempre pateamos a la derecha, siempre atajarán a la derecha: resultado 0
• ¿Qué tal si pateamos 50% al azar? Entonces lo mejor para ellos sería siempre atajar a la derecha porque ese es nuestro mejor lado: el resultado es que la mitad del tiempo obtenemos 0.4, así que 0.2
• Entonces, si pensamos que siempre atajarán a la derecha, podríamos agregar algunos extras a la izquierda ya que no estarán ahí. ¿Qué tal 60% a la izquierda: resultado 0.6 x 0.4 = 0.24
• Quizás podríamos ir con 70% a la izquierda: el resultado es 0.7 x 0.4 = 0.28, pero ellos se darán cuenta y comenzarán a atajar siempre a la izquierda, así que en su lugar obtendríamos 0.3 x 0.7 = 0.21

OK, en lugar de adivinar, calculemos exactamente. Esto lo ilustra (mira los puntos anteriores y verifica si tiene sentido):

Donde k representa cuán a menudo pateamos a la izquierda (nuestro mal lado):

Para encontrar dónde la línea 0.4k se encuentra con la línea 0.7(1–k) las igualamos:

0.4k = 0.7(1–k) 

0.4k = 0.7 – 0.7k 

1.1k = 0.7

k = 0.7/1.1 = 0.636...

El resultado es 0.636 x 0.4 = 0.254 (o 0.364 x 0.7 = 0.255)

Así que la mejor estrategia de este pateador es patear a la izquierda al azar el 64% del tiempo.