Aproximación normal a la distribución binomial

Gráfico de barras de la distribución binomial con un pico cerca del centro, mostrando probabilidades discretas.
Ejemplo de distribución binomial

Una distribución binomial es excelente para encontrar probabilidades de eventos de tipo "Sí/No" (como lanzar una moneda).

¿Pero qué pasa si lanzamos esa moneda 100 veces? Los cálculos se complican. Rápidamente.

Afortunadamente, los gráficos binomiales grandes comienzan a verse como una campana suave. En su lugar podemos usar la distribución normal. Nos da una respuesta muy cercana, mucho más rápido:

Curva suave y continua en forma de campana de una distribución normal.

¿Cuándo podemos usarla?

No deberíamos usar esta aproximación si los datos están demasiado sesgados (asimétricos).

Una buena regla general es que podemos usarla cuando se cumplen ambas condiciones:

(Donde n es el número total de ensayos y p es la probabilidad de éxito)

Establecer los parámetros

Para usar la curva normal, necesitamos encontrar la media (μ) y la desviación estándar (σ) a partir de nuestros datos binomiales:

Media:
μ = np
Desviación estándar:
σ = √(np(1 − p))

La corrección por continuidad

La distribución binomial es discreta (tiene barras separadas para 0, 1, 2, y así sucesivamente), pero la distribución normal es continua (una línea suave).

Curva de distribución normal con toda el área debajo sombreada, representando una probabilidad de 1.
Distribución normal
Área = 1
Seguro de estar ahí
Distribución normal dividida en la media en dos mitades sombreadas, cada una representando una probabilidad de 0.5.
Distribución normal
Área = 0.5 + 0.5 = 1
50% de probabilidad en cada lado
Curva de distribución normal con una sola línea vertical que muestra que el área en un punto exacto es cero.
El área en un valor es cero
Probabilidad de exactamente ese valor
Curva de distribución normal con una sola columna vertical sombreada que representa el intervalo de probabilidad de un valor.
Área que pertenece al valor
Probabilidad de estar "en el intervalo"
Primer plano de una sola barra para el valor 3, que se extiende de 2.5 a 3.5 bajo la curva normal.

Ejemplo:

Un valor binomial de 3 se convierte en un área de la distribución normal entre 2.5 y 3.5

Usamos 0.5 porque los pasos binomiales van de 1 en 1. El intervalo se extiende hasta la mitad hacia sus vecinos. Veamos un ejemplo completo.

Una moneda que muestra las caras de cara y cruz.

Ejemplo: Lanzar una moneda

Lanzamos una moneda justa 100 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 45 caras?

  • Comprobar:
    • n=100
    • p=0.5
    • np=50
    • n(1−p)=50
    tanto np como n(1−p) son mayores que 5, así que podemos continuar.
  • Calcular μ y σ:
    • μ = 100 × 0.5 = 50
    • σ = √(100 × 0.5 × 0.5) = 5
  • Aplicar corrección: Para "Exactamente 45", buscamos el área entre 44.5 y 45.5
  • Obtener los valores Z:
    • Z1 = (44.5 − 50) / 5 = −1.1
    • Z2 = (45.5 − 50) / 5 = −0.9
  • Buscar el área:
    • Buscamos el área entre Z = −1.1 y Z = −0.9 usando la tabla de distribución normal estándar
    • 1.1 → 0.3643, y 0.9 → 0.3159
    • El área intermedia es 0.3643 − 0.3159 = 0.0484, que es 4.84%

¿Qué pasa con los rangos?

Cuando queremos un rango de valores, como "Más de 3" o "Al menos 3", solo tenemos que decidir qué límites del intervalo usar:

No memorices las reglas

En lugar de memorizar hacia qué lado sumar o restar 0.5, ¡haz un dibujo rápido!

Dibuja una recta numérica, dibuja una pequeña casilla alrededor de tus números objetivo (extendiéndola 0.5 a cada lado)


Más de 3

Ahora puedes ver de inmediato dónde comienza y/o termina el rango.

Resumen

Distribución binomial Distribución normal estándar Quincunx (Tablero de Galton) Índice de datos