Eventos Mutuamente Excluyentes
Mutuamente excluyentes: no pueden suceder al mismo tiempo.
Ejemplos:
- Girar a la izquierda y girar a la derecha son mutuamente excluyentes (no puedes hacer ambas cosas al mismo tiempo)
- Lanzar una moneda: cara y cruz son mutuamente excluyentes
- Cartas: Reyes y Ases son mutuamente excluyentes
Lo que no es mutuamente excluyente:
- Girar a la izquierda y rascarse la cabeza pueden ocurrir al mismo tiempo
- Reyes y Corazones, ¡porque podemos tener un Rey de Corazones!
Como aquí:
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| Los Ases y los Reyes son mutuamente excluyentes (no pueden ser ambos) |
Los Corazones y los Reyes no son mutuamente excluyentes (pueden ser ambos) |
Mutuamente excluyentes vs. independientes
- Mutuamente excluyentes: no pueden suceder al mismo tiempo
- Independientes: un evento no cambia la probabilidad del otro, como lanzar una moneda y tirar un dado
Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes, en realidad son dependientes... si ocurre uno, la probabilidad de que ocurra el otro cae a cero.
Probabilidad
Veamos las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes. Pero primero, una definición:
Probabilidad de que ocurra un evento = Número de formas en que puede ocurrirNúmero total de resultados
Ejemplo: hay 4 Reyes en una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un Rey?
Número de formas en que puede ocurrir: 4 (hay 4 Reyes)
Número total de resultados: 52 (hay 52 cartas en total)
Por lo tanto, la probabilidad = 452 = 113
Mutuamente excluyentes
Cuando dos eventos (llamémoslos "A" y "B") son mutuamente excluyentes, es imposible que ocurran juntos:
P(A y B) = 0
"La probabilidad de A y B juntos es igual a 0 (imposible)"
Ejemplo: Rey Y Reina
¡Una carta no puede ser un Rey Y una Reina al mismo tiempo!
- La probabilidad de un Rey y una Reina es 0 (Imposible)
Pero, para eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de A o B es la suma de las probabilidades individuales:
P(A o B) = P(A) + P(B)
"La probabilidad de A o B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B"
Ejemplo: Rey O Reina
En una baraja de 52 cartas:
- la probabilidad de un Rey es 113, por lo que P(Rey) = 113
- la probabilidad de una Reina también es 113, por lo que P(Reina) = 113
Cuando combinamos esos dos eventos:
- La probabilidad de un Rey o una Reina es 113 + 113 = 213
Lo cual se escribe así:
P(Rey o Reina) = 113 + 113 = 213
Por lo tanto, tenemos:
- P(Rey y Reina) = 0
- P(Rey o Reina) = 113 + 113 = 213
Notación especial
En lugar de "y", a menudo verás el símbolo ∩ (que es el símbolo de "Intersección" utilizado en los Diagramas de Venn)
En lugar de "o", a menudo verás el símbolo ∪ (el símbolo de "Unión")
Así que también podemos escribir:
- P(Rey ∩ Reina) = 0
- P(Rey ∪ Reina) = 113 + 113 = 213
Ejemplo: marcar goles
Si la probabilidad de:
- no marcar ningún gol (Evento "A") es del 20%
- marcar exactamente 1 gol (Evento "B") es del 15%
Entonces:
- La probabilidad de no marcar ningún gol y marcar 1 gol es 0 (Imposible)
- La probabilidad de no marcar ningún gol o marcar 1 gol es 20% + 15% = 35%
Lo cual se escribe:
P(A ∩ B) = 0
P(A ∪ B) = 20% + 15% = 35%
Para recordar
Para ayudarte a recordar, piensa:
"La O tiene más... que la Y"
Además, ∪ es como una copa que contiene más que ∩
No mutuamente excluyentes
Ahora veamos qué sucede cuando los eventos no son mutuamente excluyentes.
Ejemplo: Corazones y Reyes
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Corazones y Reyes juntos es solo el Rey de Corazones: |
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Pero Corazones o Reyes son:
- todos los Corazones (13 de ellos)
- todos los Reyes (4 de ellos)
¡Pero eso cuenta el Rey de Corazones dos veces!
Así que corregimos nuestra respuesta restando la parte "y" que sobra:
16 cartas = 13 Corazones + 4 Reyes − 1 Rey de Corazones extra
¡Cuéntalos para comprobar que funciona!
En forma de fórmula, esto es:
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
"La probabilidad de A o B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B
menos la probabilidad de A y B"
Aquí está la misma fórmula, pero usando ∪ y ∩:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Un último ejemplo
16 personas estudian francés, 21 estudian español y hay 30 personas en total. ¡Calcula las probabilidades!
Este es definitivamente un caso de eventos no mutuamente excluyentes (se puede estudiar francés Y español).
Digamos que b es cuántos estudian ambos idiomas:
- las personas que estudian solo francés deben ser 16−b
- las personas que estudian solo español deben ser 21−b
Y obtenemos:
Y sabemos que hay 30 personas en total, así que:
Y podemos poner los números correctos:
Así que ahora sabemos todo esto:
- P(Francés) = 16/30
- P(Español) = 21/30
- P(Solo Francés) = 9/30
- P(Solo Español) = 14/30
- P(Francés o Español) = 30/30 = 1
- P(Francés y Español) = 7/30
Por último, verifiquemos con nuestra fórmula:
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
Sustituimos los valores:
3030 = 1630 + 2130 − 730
¡Sí, funciona!
Resumen:
Mutuamente excluyentes
- A y B juntos es imposible: P(A y B) = 0
- A o B es la suma de A y B: P(A o B) = P(A) + P(B)
No mutuamente excluyentes
- A o B es la suma de A y B menos A y B: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
Símbolos
- Y es ∩ (el símbolo de "Intersección")
- O es ∪ (el símbolo de "Unión")