Falsos Positivos y Falsos Negativos
La prueba dice "Sí" ... ¿o no?
Cuando tienes una prueba que puede indicar "Sí" o "No" (como una prueba médica), debes pensar:
- Podría estar equivocada cuando indica "Sí"
- Podría estar equivocada cuando indica "No"
¿Equivocada?
¡Es como si te dijeran que sí hiciste algo cuando en realidad no lo hiciste!
O que te digan que no lo hiciste cuando realmente sí lo hiciste.
Cada uno tiene un nombre especial: "Falso Positivo" y "Falso Negativo":
| Dicen que lo hiciste | Dicen que no lo hiciste | |
|---|---|---|
| Realmente lo hiciste | ¡Tienen razón!
(un "verdadero positivo") |
"Falso Negativo" |
| Realmente no lo hiciste | "Falso Positivo" | ¡Tienen razón!
(un "verdadero negativo") |
Aquí hay algunos ejemplos de "falsos positivos" y "falsos negativos":
- Seguridad en aeropuertos: un "falso positivo" ocurre cuando objetos comunes como llaves o monedas se confunden con armas (la máquina emite un pitido)
- Control de calidad: un "falso positivo" es cuando un artículo de buena calidad es rechazado, y un "falso negativo" es cuando un artículo defectuoso es aceptado. (Un resultado "positivo" significa que SÍ hay un defecto)
- Software antivirus: un "falso positivo" es cuando se cree que un archivo normal es un virus
- Evaluaciones médicas: las pruebas de bajo costo que se realizan a un grupo grande pueden dar muchos falsos positivos (indicar que tienes una enfermedad cuando no la tienes), y luego pedirte que te hagas pruebas más precisas
Pero muchas personas no entienden los números reales detrás de "Sí" o "No", como en este ejemplo:
Ejemplo: ¿Alergia o no?
Hunter dice que siente picazón. Hay una prueba para la alergia a los gatos, pero esta prueba no siempre es acertada:
- Para las personas que realmente tienen la alergia, la prueba dice "Sí" el 80% de las veces
- Para las personas que no tienen la alergia, la prueba dice "Sí" el 10% de las veces ("falso positivo")
Aquí está en una tabla:
| La prueba dice "Sí" | La prueba dice "No" | |
|---|---|---|
| Tiene alergia | 80% | 20% "Falso Negativo" |
| No la tiene | 10% "Falso Positivo" | 90% |
Pregunta: Si el 1% de la población tiene la alergia y la prueba de Hunter dice "Sí", ¿cuál es la probabilidad de que Hunter realmente tenga la alergia?
¿Crees que un 75%? ¿O tal vez un 50%?
Se le presentó un problema similar a médicos y la mayoría estimó alrededor del 75% ...
... ¡pero estaban muy equivocados!
(Fuente: "Probabilistic reasoning in clinical medicine: Problems and opportunities" por David M. Eddy 1982, en el cual se basa este ejemplo)
Hay tres formas diferentes de resolver esto:
- "Imaginar 1000",
- "Diagramas de árbol" o
- "Teorema de Bayes",
usa el que prefieras. Veámoslos ahora:
Intenta imaginar mil personas
Al intentar entender preguntas como esta, solo imagina un grupo grande (por ejemplo, 1000) y juega con los números:
- De 1000 personas, solo 10 realmente tienen la alergia (el 1% de 1000 es 10)
- La prueba acierta el 80% de las veces para personas que tienen la alergia, por lo que acertará en 8 de esas 10
- Pero 990 no tienen la alergia, y la prueba dirá "Sí" al 10% de ellas,
lo que equivale a 99 personas a las que les dice "Sí" erróneamente (falso positivo) - Así que, de 1000 personas, la prueba dice "Sí" a (8+99) = 107 personas
En una tabla:
| 1% la tiene | La prueba dice "Sí" | La prueba dice "No" | |
|---|---|---|---|
| Tiene alergia | 10 | 8 | 2 |
| No la tiene | 990 | 99 | 891 |
| Totales | 1000 | 107 | 893 |
Por lo tanto, 107 personas obtienen un "Sí", pero solo 8 de ellas realmente tienen la alergia:
8107 = 0.0748... = alrededor del 7%
Así que, aunque la prueba de Hunter haya dicho "Sí", todavía hay solo un 7% de probabilidad de que Hunter realmente tenga alergia a los gatos.
¿Por qué tan baja? Bueno, la alergia es tan poco común que aquellos que realmente la padecen son ampliamente superados en número por aquellos con un falso positivo.
Como un árbol
Dibujar un diagrama de árbol puede ser de gran ayuda:
En primer lugar, verifiquemos que todos los porcentajes sumen el total:
0.8% + 0.2% + 9.9% + 89.1% = 100% (¡bien!)
Y las dos respuestas "Sí" suman 0.8% + 9.9% = 10.7%, pero solo el 0.8% son correctas.
0.8/10.7 = 7% (la misma respuesta que antes)
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes tiene una fórmula especial para este tipo de situaciones:
P(A|B) = P(A)P(B|A) P(A)P(B|A) + P(no A)P(B|no A)
donde:
- P significa "Probabilidad de"
- | significa "dado que"
- A en este caso es "realmente tiene la alergia"
- B en este caso es "la prueba dice Sí"
Por lo tanto:
P(A|B) significa "La probabilidad de que Hunter realmente tenga la alergia dado que la prueba dice Sí"
P(B|A) significa "La probabilidad de que la prueba diga Sí dado que Hunter realmente tiene la alergia"
Para mayor claridad, cambiemos A por tiene (realmente tiene la alergia) y B por Sí (la prueba dice sí):
P(tiene|Sí) = P(tiene)P(Sí|tiene) P(tiene)P(Sí|tiene) + P(no tiene)P(Sí|no tiene)
Y colocamos los valores numéricos:
P(tiene|Sí) = 0.01×0.8 0.01×0.8 + 0.99×0.1
= 0.0748...
Lo cual es aproximadamente 7%
Aprende más sobre esto en el Teorema de Bayes.
Un último ejemplo
Ejemplo extremo: Virus informático
Un virus informático se propaga por todo el mundo, y todos los equipos infectados se reportan a una computadora principal.
Los expertos en seguridad capturan la computadora principal y descubren que un millón de computadoras han sido infectadas (pero no saben cuáles).
¡Los gobiernos deciden tomar cartas en el asunto!
Nadie puede usar internet hasta que su computadora pase la prueba de "libre de virus". La prueba tiene un 99% de precisión (bastante buena, ¿verdad?). Pero el 1% de las veces indica que tienes el virus cuando no lo tienes (un "falso positivo").
Ahora supongamos que hay 1000 millones de usuarios de internet.
- De 1 millón con el virus, el 99% de ellos son correctamente bloqueados = 0.99 millones (alrededor de 1 millón)
- Pero los falsos positivos son 999 millones x 1% = 9.99 millones (alrededor de 10 millones)
Así que a un total de 11 millones se les bloquea el acceso, pero solo 1 de cada 11 realmente tiene el virus.
¡Así que si te bloquean, solo hay alrededor de un 9% de probabilidad de que realmente tengas el virus!
Conclusión
Al tratar con falsos positivos y falsos negativos (o cualquier otra pregunta capciosa de probabilidad) podemos usar estos métodos:
- Imagina que tienes 1000 (de lo que sea),
- Haz un diagrama de árbol, o
- Usa el Teorema de Bayes