Prueba t de Student
Nombrada en honor a William Sealy Gosset, quien publicó bajo el seudónimo "Student" para respetar la privacidad de su empleador.
La prueba t de Student nos ayuda a comparar dos conjuntos de datos para ver si la diferencia entre sus medias se debe simplemente al azar.
Hay dos tipos principales:
Prueba t para muestras independientes: para comparar dos grupos distintos donde los miembros de uno no están relacionados con los del otro. Ejemplos:
Prueba t para muestras emparejadas: cuando los mismos participantes están en ambos grupos que se comparan, como observaciones de antes y después. Ejemplos:
Ejemplos:
- Independientes: Comparar las tasas de recuperación de pacientes a los que se les administra un medicamento frente a los que reciben un placebo
- Independientes: Comparar las puntuaciones en exámenes de una clase a la que se le enseña utilizando el Método A frente a una clase utilizando el Método B
- Emparejadas: Comparar el peso de las personas antes y después de un programa de pérdida de peso
- Emparejadas: Comparar la productividad de los empleados antes y después de un programa de capacitación
Los datos deben tener una distribución normal, y la prueba no es confiable si los tamaños de las muestras son demasiado pequeños o si las varianzas son muy diferentes.
Nota: también te puede interesar investigar la Prueba de chi-cuadrada.
Prueba t para muestras independientes
Por lo general usamos esta fórmula (pero existen otras fórmulas):
Donde:
- 1 y 2 son las medias de las muestras
- s12 y s22 son las varianzas de las muestras
- n1 y n2 son los tamaños de las muestras
Nota: usamos s2 para la varianza, porque la varianza es el cuadrado de la desviación estándar s.
Para hacer la prueba t:
- Calcula la media, la varianza y el tamaño de muestra para cada conjunto de datos muestrales
- Usa la fórmula anterior para calcular "t"
- Luego buscamos en una tabla especial para descubrir qué tan significativo es ese valor "t"
En efecto, el valor t es una medida de cuánto difieren las medias de los dos grupos entre sí en comparación con la variabilidad de los datos.
Un valor t más alto sugiere una diferencia más significativa entre los grupos (es decir, es menos probable que se deba al azar).
Veamos un ejemplo:
Ejemplo: Duración de la batería
Este es un experimento que puedes hacer tú mismo (a un costo de 20 baterías).
Se prueban dos lotes de baterías idénticas:
- Un grupo de 10 se probó en un ambiente frío
- Otro grupo de 10 se probó en un ambiente cálido
Las baterías alimentan dispositivos idénticos hasta que se quedan sin carga, con estos resultados (en horas):
- Grupo frío: 85, 90, 76, 88, 93, 87, 91, 89, 95, 85
- Grupo cálido: 78, 82, 79, 88, 91, 85, 90, 87, 84, 86
Calculemos la media de cada uno:
- Media del grupo frío = 85+90+76+88+93+87+91+89+95+8510 = 87.9 horas
- Media del grupo cálido = 78+82+79+88+91+85+90+87+84+8610 = 85 horas
El grupo frío duró, en promedio, alrededor de 3 horas más.
¿Pero es este un resultado significativo o simplemente de naturaleza aleatoria?
Ahora es el momento de calcular el estadístico t.
Nuestro siguiente paso es calcular las varianzas.
La varianza es una medida de cuánto se dispersan los datos con respecto a la media. La calculamos tomando el promedio de las diferencias al cuadrado de cada dato, como se muestra aquí:
Para el grupo frío:
- n = 10
- Media = 87.9
- Varianza = (85-87.9)2+(90-87.9)2+(76-87.9)2+(88-87.9)2+(93-87.9)2+(87-87.9)2+(91-87.9)2+(89-87.9)2+(95-87.9)2+(85-87.9)29 = 27.88
Para el grupo cálido:
- n = 10
- Media = 85
- Varianza = (78-85)2+(82-85)2+(79-85)2+(88-85)2+(91-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(87-85)2+(84-85)2+(86-85)29 = 18.89
Ahora comparemos nuestro valor t con el "valor t crítico" de la Tabla de la prueba t de Student a un nivel de significancia elegido, normalmente 0.05 para un nivel de confianza del 95% con grados de libertad df = n1 + n2 − 2 = 18, y utilizando el valor de dos colas, ya que el cambio en la duración de la batería teóricamente podría ir en cualquier dirección.
La tabla nos muestra que para 0.05 y df=18 obtenemos un "valor t crítico" de 2.101
Nuestro valor t real es 1.341, y al ser menor que 2.101, nuestro resultado no supera el nivel de confianza del 95%.
Por lo tanto, no hay suficiente evidencia para afirmar que haya una diferencia significativa entre el grupo frío y el cálido.
Hipótesis
La prueba t a menudo se realiza de manera más formal utilizando la idea de una hipótesis y una hipótesis nula.
Ejemplo: Frutas y verduras
Quieres investigar si comer más frutas y verduras reduce el riesgo de padecer enfermedades cardíacas. Tu hipótesis podría ser:
"Consumir al menos 5 porciones de frutas y verduras al día conduce a una menor incidencia de enfermedades cardíacas en adultos."
En este caso, tu hipótesis es comprobable porque puedes recopilar datos sobre el consumo de frutas y verduras de las personas y compararlos con los resultados de su salud cardíaca.
Pero generalmente tomamos el punto de vista opuesto:
La hipótesis nula es el supuesto de partida para el análisis estadístico.
El objetivo del análisis estadístico a menudo es proporcionar evidencia que nos permita rechazar la hipótesis nula.
Rechazar la hipótesis nula da credibilidad a (pero no demuestra) nuestra hipótesis original. En otras palabras, si podemos demostrar que el escéptico probablemente esté equivocado, podemos sugerir que nuestra idea original podría ser correcta.
Continuación del ejemplo
La hipótesis nula podría ser:
"Consumir al menos 5 porciones de frutas y verduras al día no conduce a una menor incidencia significativa de enfermedades cardíacas en adultos."
Si nuestros datos no respaldan la hipótesis nula, entonces tenemos evidencia a favor de nuestra hipótesis original.
Pasos de la prueba de hipótesis
- Formular la hipótesis nula (H0): No hay una diferencia significativa entre los dos grupos
- Formular la hipótesis alternativa (Ha): Sí hay una diferencia significativa entre los dos grupos
- Elegir un nivel de significancia (comúnmente 0.05), que es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera
- Recopilar los datos y calcular el estadístico t a partir de las dos medias muestrales, las desviaciones estándar y los tamaños de muestra
- Comparar el estadístico t calculado con el valor crítico de la tabla de distribución t para determinar si se acepta o se rechaza la hipótesis nula
¡Hagamos nuestro ejemplo original de esa manera!
Ejemplo: Duración de la batería
Hipótesis nula (H0): La diferencia entre un ambiente frío y uno cálido no tiene efecto en el tiempo de funcionamiento de una batería
Hipótesis alternativa (Ha): La diferencia entre un ambiente frío y uno cálido afectará el tiempo de funcionamiento de una batería
Usando los valores calculados anteriormente:
De la Tabla de la prueba t de Student para 0.05 (que es un nivel de confianza del 95%) y df=18 obtenemos un "valor t crítico" de 2.101
Dado que nuestro valor t calculado de 1.341 es menor que el valor t crítico de 2.101, no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula.
No podemos rechazar la hipótesis nula
Esto significa que, con base en nuestra muestra, no podemos afirmar con certeza que exista una diferencia estadísticamente significativa.
En términos cotidianos, es como si dijéramos: "Basándonos en lo que hemos visto, no podemos concluir que el cambio sea algo más que simple azar".
Prueba t para muestras emparejadas
Una prueba t para muestras emparejadas, también conocida como prueba t para muestras dependientes, es una prueba estadística que se utiliza para comparar dos medias (promedios) cuando los datos están emparejados de alguna manera. Como en un ensayo de antes y después.
Por lo tanto, los mismos sujetos participan en ambos conjuntos de datos.
Cálculo paso a paso
Para hacer la prueba t para muestras emparejadas:
- Calcula la diferencia (d) para cada par de puntuaciones
- Calcula la media de las diferencias ()
- Calcula la varianza de las diferencias (var)
- Calcula la desviación estándar de las diferencias (s)
- Calcula el estadístico t
- Determina los grados de libertad (df)
- Compara el estadístico t calculado con el valor crítico de la tabla de distribución t para determinar si se acepta o se rechaza la hipótesis nula
Ejemplo: Puntuaciones de exámenes
Tenemos las puntuaciones de exámenes de 7 estudiantes antes y después de participar en un programa especial de matemáticas. ¡Comparemos los dos conjuntos de puntuaciones!
Hipótesis nula (H0): El programa especial de matemáticas no tiene ningún efecto significativo en las diferencias de puntuaciones de los exámenes
Hipótesis alternativa (Ha): El programa especial de matemáticas sí afecta las puntuaciones de los exámenes
- Resultados antes: 72, 75, 80, 72, 68, 92, 84
- Resultados después: 84, 74, 86, 79, 78, 91, 88
Coloquemos eso en una tabla y hagamos algunos cálculos:
| Antes | Después | Dif (d) | (d− )2 |
|---|---|---|---|
| 72 | 84 | 12 | 45.08 |
| 75 | 74 | -1 | 39.51 |
| 80 | 86 | 6 | 0.51 |
| 72 | 79 | 7 | 2.94 |
| 68 | 78 | 10 | 22.22 |
| 92 | 91 | -1 | 39.51 |
| 84 | 88 | 4 | 1.65 |
| Suma: | 37 | 151.42 |
Media de las diferencias () = 37/7 = 5.29
Varianza (var) = 151.42/(7−1) = 25.24
Desviación estándar (s) = √(25.24) = 5.02
Podemos calcular el valor t usando cualquiera de estas fórmulas (son matemáticamente equivalentes):
t = s/√(n) = 5.295.02/√(7) = 2.78
t = √(var/n) = 5.29√(25.24/7) = 2.78
Ahora comparemos nuestro valor t con el valor t crítico en la tabla.
- Los grados de libertad (df) para una prueba t emparejada son n − 1: df = 7−1 = 6
- Para una prueba de dos colas con df=6 al nivel 0.05, encontramos que el valor t crítico es 2.447
- Nuestro valor de 2.78 es superior a ese, por lo que la hipótesis nula se rechaza
Es poco probable que la hipótesis nula sea verdadera (menos del 5% de probabilidad), por lo que tenemos buenas razones para creer que la hipótesis alternativa "El programa especial de matemáticas sí afecta las puntuaciones de los exámenes" es verdadera.
Pruebas t de una cola y de dos colas
- Prueba t de una cola: Evalúa un efecto significativo en una dirección específica (ya sea mayor que o menor que)
- Prueba t de dos colas: Evalúa un efecto significativo en ambas direcciones (ya sea mayor o menor que), sin comprometerse con una dirección específica antes de la prueba
Elige una prueba de una cola si tienes una hipótesis específica sobre la dirección del efecto. Usa una prueba de dos colas si te interesa detectar cualquier diferencia significativa, sin importar la dirección.
Conjunto individual de datos
Para un solo conjunto de datos podemos comparar la media de nuestra muestra () con una media poblacional conocida o hipotética (μ):