Crecimiento y Decaimiento Exponencial

Ejemplo: Si una población de conejos se duplica cada mes, tendríamos 2, luego 4, luego 8, 16, 32, 64, 128, 256, etc.

Ejemplo: Hace 2 meses tenías 3 ratones, ahora tienes 18.

 

Comienza con la fórmula:

y(t) = a × e^kt

Sabemos que a=3 ratones, t=2 meses, y justo ahora y(2)=18 ratones :

18 = 3 × e^2k

Ahora algo de álgebra para resolver k:

Notas:

• El paso donde usamos ln(e^x)=x se explica en Exponentes y Logaritmos.
• Podríamos haber calculado k ≈ 0.896, pero es mejor dejarlo como k = ln(6)/2 hasta el final de todas las operaciones.

 

Ahora podemos poner k = ln(6)/2 en la fórmula de antes:

y(t) = 3 e^(ln(6)/2)t

Ahora calculemos la población en 2 meses más (en t=4 meses):

y(4) = 3 e^(ln(6)/2)×4 = 108

Y ahora un año después de ese momento (t=14 meses):

y(14) = 3 e^{(ln(6)/2)×14} = 839,808

¡Son muchos ratones! Espero que los alimentes adecuadamente.

Ejemplo: La presión atmosférica (la presión del aire a su alrededor) disminuye a medida que aumenta la altura.

Disminuye cerca de 12% por cada 1000 m: un decaimiento exponencial.

La presión al nivel del mar es de aproximadamente 1013 hPa (dependiendo del clima).

 

• Escribe la fórmula (con su valor "k"),
• Encuentra la presión sobre el techo del Empire State Building (381 m),
• y en la cima del Monte Everest (8848 m)

Comienza con la fórmula:

y(t) = a × e^kt

Sabemos

• a (la presión al nivel del mar) = 1013 hPa
• t está en metros (distancia, no tiempo, pero la fórmula aún funciona)
• y(1000) es una reducción del 12% sobre 1013 hPa = 891.44 hPa

Luego:

891.44 = 1013 e^k×1000

Ahora algo de álgebra para resolver k:

 

Ahora que sabemos "k" podemos escribir:

y(t) = 1013 e^{(ln(0.88)/1000)×t}

 

Y finalmente podemos calcular la presión a 381 m, y a 8848 m:

 

y(381) = 1013 e^{(ln(0.88)/1000)×381} = 965 hPa

y(8848) = 1013 e^{(ln(0.88)/1000)×8848} = 327 hPa

 

(De hecho, las presiones en el Monte Everest son alrededor de 337 hPa ... ¡buenos cálculos!)

Ejemplo: La vida media de la cafeína en una persona es de aproximadamente 6 horas. Si alguien tomó 1 taza de café hace 9 horas, ¿cuánto queda en su sistema?

Empieza con la fórmula:

y(t) = a × e^kt

Sabemos:

• a (la dosis inicial) = ¡1 taza de café!
• t se mide en horas
• en y(6) tenemos una reducción del 50% (porque 6 es la vida media 6)

Por lo tanto:

0.5 = 1 taza × e^6k

Ahora algo de álgebra para resolver k:

Ahora podemos escribir:

y(t) = 1 e^{(ln(0.5)/6)×t}

En 6 horas:

y(6) = 1 e^{(ln(0.5)/6)×6} = 0.5

Lo que es correcto ya que 6 horas es la vida media

Y en 9 horas:

y(9) = 1 e^{(ln(0.5)/6)×9} = 0.35

Después de 9 horas, la cantidad restante en su sistema es aproximadamente 0.35 veces la cantidad original. Que duerma bien :)