Proporciones


Una proporción dice que dos
radios (o fracciones o relaciones) son iguales.

Nota: no confundir con el concepto geométrico de radio. Ambos se llaman igual, pero son cosas diferentes.

Ejemplo:

proporción 1/3 : 2/6

 

Entonces 1 de 3 es igual a 2 de 6

 

Los radios son los mismos, por lo que son proporcionales.

Ejemplo: Cuerda

La longitud y la masa de una cuerda son proporcionales.

Cuando 20m de cuerda tienen una masa de 1kg, entonces:

cuerda 20m / 1kg : 40m / 2kg

Por lo tanto:

20 1 = 40 2

Tamaños

Cuando las formas están "en proporción", sus tamaños relativos son los mismos.

Aquí vemos que las proporciones de longitud de la cabeza a la longitud del cuerpo son las mismas en ambos dibujos.

Entonces son proporcionales.

¡Hacer que la cabeza sea demasiado larga o corta se vería mal!
proporción 10/20 : 15/30

Ejemplo: Las Medidas Internacionales de Hojas de Papel (como A3, A4, A5, etc) todas tienen las mismas proporciones:

cambiar el tamaño del papel

Por lo tanto, cualquier obra de arte o documento se puede cambiar de tamaño para caber en cualquier hoja. Súper bien.

Trabajando con proporciones

AHORA, ¿cómo usamos esto?

Ejemplo: quieres dibujar la cabeza del perro ... ¿qué tan grande debe ser?

dibujo proporcional de un perro

Escribamos la proporción con la ayuda de la relación 10/20 desde arriba:

? 42 = 10 20

Ahora lo resolvemos usando un método especial:

?/42 : 10/20

Multiplica cruzado,
luego divide por el tercer número

Y se tiene:

? = (42 × 10) / 20
= 420 / 20
= 21

Entonces debes dibujar la cabeza 21 unidades de largo.

 

Usando proporciones para resolver porcentajes

¡Un porcentaje es en realidad una proporción! Decir "25%" en realidad es "25 de 100":

25% = 25100

Podemos usar proporciones para resolver preguntas que involucran porcentajes.

El truco es poner lo que sabemos en este formulario:

ParteTodo = Porciento100

 

Ejemplo: ¿cuál es el 25% de 160?

El porcentaje es 25, el total es 160 y queremos encontrar la "parte":

Parte160 = 25100

Multiplica cruzado, luego divide por el tercer número

Parte/160 : 25/100

Parte = (160 × 25) / 100
= 4000 / 100
= 40

Respuesta: 25% de 160 es 40.

 

Nota: también podríamos haber resuelto esto haciendo la división primero, así:

Parte = 160 × (25 / 100)
= 160 × 0.25
= 40

Cualquiera de los métodos funciona bien.

También podemos encontrar un porcentaje:

Ejemplo: ¿cuánto es $12 como porcentaje de $80?

Rellena lo que sabemos:

$12$80 = Porciento100

Multiplica cruzado, luego divide por el tercer número. Esta vez las esquinas que multiplicaremos son superior izquierda e inferior derecha:

$12/$80 : Porcentaje/100

Porciento = ($12 × 100) / $80
= 1200 / 80
= 15%

Respuesta: $12 es 15% de $80

O encuentra el todo:

Ejemplo: El precio de venta de un teléfono era de $150, que era solo el 80% del precio normal. ¿Cuál fue el precio normal?

Rellena lo que sabemos:

$150Total = 80100

Multiplica cruzado, luego divide por el tercer número.

$150/entero : 80/100

Total = ($150 × 100) / 80
= 15000 / 80
= 187.50

Respuesta: el precio normal del teléfono era $187.50

Usando proporciones para resolver triángulos

Podemos usar proporciones para resolver triángulos similares.

Ejemplo: ¿Qué altura tiene el árbol?

Samuel trató de usar una escalera, cinta métrica, cuerdas y varias otras cosas, pero aún no pudo determinar qué tan alto era el árbol.

árbol proporcional

Pero entonces Samuel tuvo una idea inteligente ... ¡triángulos similares!

Samuel mide una pequeña vara metálica y su sombra (en metros), y también la sombra del árbol, y esto es lo que obtiene:

proporción

Ahora Samuel hace un boceto de los triángulos y escribe la relación "Altura a Longitud" para ambos triángulos:

Altura: Longitud de la Sombra:     h 2.9 m = 2.4 m 1.3 m

Multiplica cruzado, luego divide por el tercer número.

h = (2.9 × 2.4) / 1.3
= 6.96 / 1.3
= 5.4 m (redondeado a un decimal)

Respuesta: el árbol es 5.4 unidades de alto.

¡Y ni siquiera necesitó una escalera!

La "Altura" podría haber estado en la parte inferior, siempre y cuando estuviera en la parte inferior para AMBAS proporciones, así:

proporción

Probemos la relación de "Longitud de la Sombra a Altura":

Longitud de la Sombra: Altura:     2.9 m h = 1.3 m 2.4 m

Multiplica cruzado, luego divide por el tercer número.

h = (2.9 × 2.4) / 1.3
= 6.96 / 1.3
= 5.4 m (redondeado a un decimal)

Es el mismo cálculo que antes.

Un ejemplo "concreto"

¡Los radios pueden tener más de dos números!

Por ejemplo, el concreto (hormigón) se hace mezclando cemento, arena, piedras (grava) y agua.

vertiendo concreto

Una mezcla típica de cemento, arena y piedras se escribe mediante una proporción, como 1:2:6.

Podemos multiplicar todos los valores por la misma cantidad y seguir teniendo la misma proporción.

10:20:60 es lo mismo que 1:2:6

Entonces, cuando usamos 10 cubetas de cemento, debemos usar 20 de arena y 60 de piedras.

Ejemplo: acaba de poner 12 cubetas de piedras en una batidora, ¿cuánto cemento y cuánta arena se debe agregar para hacer una mezcla 1: 2: 6?

Pongámoslo en una tabla para aclararlo:

  Cemento Arena Piedras
Radio necesario: 1 2 6
Se tiene:     12

Tienes 12 cubetas de piedras, pero la proporción dice 6.

Eso está bien, simplemente tienes el doble de piedras que el número en la proporción ... por lo que necesitas el doble de todo para mantener la proporción.

Aquí está la solución:

  Cemento Arena Piedras
Radio necesario: 1 2 6
Se tiene:  2 4 12

Y la proporción 2: 4: 12 es la misma que 1: 2: 6 (porque ambas muestran los mismos tamaños relativos)

Entonces la respuesta es: agrega 2 cubetas de cemento y 4 cubetas de arena. (También necesitas agua y agitar mucho ...)
¿Por qué son la misma proporción? Bueno, la relación 1: 2: 6 dice tener:
En nuestra mezcla tenemos:
¡Entonces debería ser justo!

Eso es lo bueno de las proporciones. Puede hacer que las cantidades sean más grandes o más pequeñas, y siempre que los tamaños relativos sean los mismos, la relación será la misma.

 

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).