Vectores

Este es un vector:

vector

Un vector tiene magnitud (longitud) y dirección:

vector magnitud y dirección

La longitud de la línea muestra su magnitud y la punta de la flecha apunta en la dirección.

Podemos sumar dos vectores uniéndolos de extremo a origen:

vector suma a+b

Y no importa en qué orden los sumemos, obtenemos el mismo resultado:

vector suma b+a

Ejemplo: un avión está volando, apuntando hacia el norte, pero hay un viento que viene del noroeste.

vector de un avión, hélice y viento

Los dos vectores (la velocidad causada por la hélice y la velocidad del viento) dan como resultado una velocidad de avance ligeramente más lenta que se dirige un poco al este del norte.

Si observaras el avión desde el suelo, parecería que se desliza un poco hacia un lado.

vector de un avión, adelante y un poco al costado

¿Alguna vez has visto que eso suceda? Tal vez hayas visto pájaros luchando contra un fuerte viento que parecieran volar de lado. Los vectores ayudan a explicar eso.

La Velocidad, aceleración, fuerza y muchas otras cosas son vectores.

Restando

También podemos restar un vector de otro:

resta de vectores a-b = a + (-b)
ab

Notación

Los vectores se suelen escribir en negritas, como a o b.

Un vector también se puede escribir con las letras
de sus extremos con una flecha encima, así:
  notación de vectores a=AB, origen, extremo

Operaciones

Ahora ... ¿cómo hacemos los cálculos?

La forma más común es separar primero los vectores en partes x y y, así:

componentes x e y de un vector

El vector a está separado
en dos vectores: ax y ay

(Veremos más adelante cómo hacer esto.)

Sumando vectores

Podemos sumar vectores sumando las partes x y sumando las partes y:

ejemplo de suma de vectores

El vector (8, 13) y el vector (26, 7) se suman para formar el vector (34, 20)

Ejemplo: Sumar los vectores a = (8, 13) y b = (26, 7)

c = a + b

c = (8, 13) + (26, 7) = (8+26, 13+7) = (34, 20)

Cuando separamos un vector como ese, cada parte se llama componente:

Restando vectores

Para restar, primero invierte el vector que quieres restar, luego suma.

Ejemplo: Restar k = (4, 5) de v = (12, 2)

a = v + −k

a = (12, 2) + −(4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)

Magnitud de un vector

La magnitud de un vector se muestra mediante dos barras verticales a cada lado del vector:

|a|

O puede escribirse con barras verticales dobles (para no confundirlo con el valor absoluto):

||a||

Se usa el Teorema de Pitágoras para calcularla:

|a| = √( x2 + y2 )

Ejemplo: ¿Cuál es la magnitud del vector b = (6, 8)?

|b| = √( 62 + 82) = √( 36+64) = √100 = 10

Un vector con magnitud 1 se llama Vector Unitario.

Vector vs Escalar

Un escalar solamente tiene magnitud (tamaño).

Escalar: simplemente un número (como 7 o −0.32) ... definitivamente no es un vector.

Un vector tiene magnitud y dirección, y a menudo se escribe en negritas, por lo que sabemos que no es un escalar:

Ejemplo: kb es en realidad el escalar k veces el vector b.

Multiplicando un vector por un escalar

Cuando multiplicamos un vector por un escalar, se dice que "escalamos" un vector, porque estamos cambiando qué tan grande o pequeño es el vector.

Ejemplo: Multiplicar el vector m = (7, 3) por el escalar 3

escalando un vector   a = 3m = (3×7, 3×3) = (21, 9)

Todavía apunta en la misma dirección, pero es 3 veces más largo.

(Y ahora sabes porqué los números se llaman "escalares", porque "escalan" el vector hacia arriba o hacia abajo).

 

Multiplicar un Vector por un Vector (Producto Punto y Producto Cruz)

producto punto, magnitud y ángulo

¿Cómo multiplicamos dos vectores entre sí? ¡Hay más de una forma!

  • De forma escalar con el Producto Punto (el resultado es un escalar).
  • De forma vectorial con el Producto Cruz (el resultado es un vector).

(Lee esas páginas para más detalles).

 

Más de 2 dimensiones

Los vectores también funcionan perfectamente bien en 3 o más dimensiones:

vector en 3d
El vector (1, 4, 5)

Ejemplo: Sumar los vectores a = (3, 7, 4) y b = (2, 9, 11)

c = a + b

c = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3+2, 7+9, 4+11) = (5, 16, 15)

Ejemplo: ¿Cuál es la magnitud del vector w = (1, −2, 3)?

|w| = √( 12 + (−2)2 + 32 ) = √( 1+4+9) = √14

Aquí hay un ejemplo con 4 dimensiones (¡pero es difícil de dibujar!):

Ejemplo: Restar (1, 2, 3, 4) de (3, 3, 3, 3)

(3, 3, 3, 3) + −(1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (−1,−2,−3,−4)
= (3−1, 3−2, 3−3, 3−4)
= (2, 1, 0, −1)

 

Magnitud y dirección

Podemos conocer la magnitud y dirección de un vector, pero querer sus longitudes x e y (o viceversa):

vector polar <=> vector cartesiano
Vector a en
Coordenadas Polares
  Vector a en
Coordenadas Cartesianas

Puedes leer Coordenadas Polares y Cartesianas para saber cómo pasar de unas coordenadas a las otras, pero aquí te dejo un resumen:

De coordenadas polares (r, θ)
a coordenadas cartesianas (x,y)
  De coordenadas cartesianas (x, y)
a coordenadas polares (r,θ)
  • x = r × cos( θ )
  • y = r × sen( θ )
 
  • r = √ ( x2 + y2 )
  • θ = tan-1 ( y / x )

 

 

ejemplo de vector, dos personas jalando

Un ejemplo

Samuel y Alex están tirando de una caja.

¿Cuál es la fuerza combinada y su dirección?

 

Sumemos los dos vectores de extremo a origen:

vectores, ángulos y magnitudes

Primero convierte de polares a cartesianas (a 2 decimales):

Vector de Samuel:

Vector de Alex:

Ahora tenemos:

vectores: componentes

Sumamos:

(100, 173.21) + (84.85, −84.85) = (184.85, 88.36)

Esa respuesta es válida, pero volvamos a polares ya que la pregunta era en polares:

Y tenemos este resultado (redondeado):
vector resultante

Y se ve así para Samuel y Alex:
vector, fuerza combinada de dos personas jalando

¡Podrían obtener un mejor resultado si estuvieran hombro con hombro!

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).