La Ecuación Diferencial de Bernoulli
Cómo resolver esta ecuación diferencial especial de primer orden
Una Ecuación de Bernoulli tiene esta forma:
dydx
+ P(x)y = Q(x)yn
donde n es cualquier Número Real excepto 0 o 1
Cuando n = 0 la ecuación se puede resolver como una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden.
Cuando n = 1 la ecuación se puede resolver mediante Separación de Variables.
Para otros valores de n podemos resolverla sustituyendo
u = y1−n
y convertirla en una ecuación diferencial lineal (y luego resolver eso).
Ejemplo 1: Resuelve
dydx + x5 y = x5 y7
Es una Ecuación de Bernoulli con P(x)=x5, Q(x)=x5, y n=7, así que intentemos la siguiente sustitución:
u = y1−n
u = y−6
En términos de y tenemos:
y = u(−16)
Derivamos y con respecto a x:
dydx = −16 u(−76) dudx
Ahora hay que sustituirdydx y y en la ecuación original dydx + x5 y = x5 y7
−16u(−76) dudx + x5u(−16) = x5u(−76)
Multiplica todos los términos por −6u(76)
dudx − 6x5u = −6x5
¡La sustitución funcionó! Ahora tenemos una ecuación que esperamos poder resolver.
Simplifica:
dudx = 6x5u − 6x5
dudx = (u−1)6x5
Usando Separación de Variables:
duu−1 = 6x5 dx
Integramos de ambos lados:
∫1u−1 du = ∫6x5 dx
Y eso nos da:
ln(u−1) = x6 + C
u−1 = ex6 + C
u = e(x6 + c) + 1
Sustituimos de vuelta y = u(−16)
y = ( e(x6 + c) + 1 )(−16)
¡Resuelto!
Y obtenemos estas curvas de ejemplo:
Veamos de nuevo esa sustitución que hicimos arriba. Empezamos con:
dydx + x5y = x5y7
Y terminamos con:
dudx − 6x5u = −6x5
De hecho, en general, podemos ir directamente desde
dydx
+ P(x)y = Q(x)yn
n no es ni 0 ni 1
a:
dudx + (1−n)uP(x) = (1−n)Q(x)
Luego se resuelve eso y se termina sustituyendo y = u(−1n−1)
Hagámoslo en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2: Resuelve
dydx − yx = y9
Es una Ecuación de Bernoulli con n = 9, P(x) = −1x y Q(x) = 1
Sabiendo que es una Ecuación de Bernoulli podemos saltar directamente a esto:
dudx + (1−n)uP(x) = (1−n)Q(x)
Que, después de sustituir n, P(X) y Q(X), se convierte en:
dudx + 8ux = −8
Ahora intentemos resolver eso.
Desafortunadamente, no podemos separar las variables, pero la ecuación
es lineal y tiene la forma dudx
+ R(X)u = S(x) con R(X) = 8x
y S(X) = −8
La cual podemos resolver con los pasos 1 a 9:
Paso 1: Sea u=vw
Paso 2: Derivamos u = vw
dudx = vdwdx + wdvdx
Paso 3: Sustituimos u = vw y dudx = v dwdx + w dvdx en dudx + 8ux = −8:
vdwdx + wdvdx + 8vwx = −8
Paso 4: Factorizamos las partes donde aparece w.
vdwdx + w(dvdx + 8vx) = −8
Paso 5: Igualamos a cero la parte interior de los paréntesis () y separamos las variables.
dvdx + 8vx = 0
dvv = −8dxx
Paso 6: Resolvemos esta ecuación diferencial separable para encontrar v.
∫dvv = − ∫8dxx
ln(v) = ln(k) − 8ln(x)
v = kx−8
Paso 7: Sustituimos v en la ecuación obtenida en el paso 4.
kx−8 dwdx = −8
Paso 8: Resolvemos para hallar v
kx−8 dw = −8 dx
k dw = −8x8 dx
∫ k dw = ∫ −8x8 dx
kw = −89x9 + C
w = 1k( −89 x9 + C )
Paso 9: Sustituimos en u = vw para encontrar la solución a la ecuación original.
u = vw = kx−8k( −89 x9 + C )
u = x−8 ( − 89 x9 + C )
u = −89x + Cx−8
Ahora, la sustitución que usamos fue:
u = y1−n = y−8
Lo que en nuestro caso significa que necesitamos sustituir de nuevo y = u(−18) :
y = ( −89 x + c x−8 ) (−18)
¡Listo!
Y obtenemos esta bonita familia de curvas:
Ejemplo 3: Resuelve
dydx + 2yx = x2y2sin(x)
Es una Ecuación de Bernoulli con n = 2, P(x) = 2x y Q(x) = x2sin(x)
Podemos pasar directamente a esto
dudx + (1−n)uP(x) = (1−n)Q(x)
Que, después de sustituir n, P(X) y Q(X), se convierte en:
dudx − 2ux = − x2sin(x)
En este caso, no podemos separar las variables, pero la ecuación es lineal y de la forma dudx + R(X)u = S(x) con R(X) = −2x y S(X) = −x2sin(x)
Resuelve los pasos 1 a 9:
Paso 1: Sea u=vw
Paso 2: Deriva u = vw
dudx = vdwdx + wdvdx
Paso 3: Sustituye u = vw y dudx = vdwdx + wdvdx en dudx − 2ux = −x2sin(x)
vdwdx + wdvdx − 2vwx = −x2sin(x)
Paso 4: Factoriza las partes donde aparece w.
vdwdx + w(dvdx − 2vx) = −x2sin(x)
Paso 5: Iguala a cero la parte interior de los paréntesis () y separa las variables.
dvdx − 2vx = 0
1vdv = 2xdx
Paso 6: Resuelve esta ecuación diferencial separable para encontrar v.
∫1v dv = ∫2x dx
ln(v) = 2ln(x) + ln(k)
v = kx2
Paso 7: Sustituimos v en la ecuación obtenida en el paso 4.
kx2dwdx = −x2sin(x)
Paso 8: Resuelve esto para hallar v.
k dw = −sin(x) dx
∫k dw = ∫−sin(x) dx
kw = cos(x) + C
w = cos(x) + Ck
Paso 9: Sustituye en u = vw para encontrar la solución a la ecuación original.
u = kx2cos(x) + Ck
u = x2(cos(x)+C)
Finalmente sustituye de vuelta y = u-1
y = 1x2 (cos(x)+C)
Lo cual se ve así (valores de ejemplo de C):
La Ecuación de Bernoulli se atribuye a Jacob Bernoulli (1655-1705), miembro de una familia de famosos matemáticos suizos.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).