Ecuaciones Exactas y Factores Integrantes

¡Hola! ¡Antes de continuar leyendo deberías tener una buena idea sobre ecuaciones diferenciales y derivadas parciales!

Ecuación Exacta

Una ecuación es "exacta" cuando una ecuación diferencial de primer orden como esta:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

tiene cierta función especial I(x, y) cuyas derivadas parciales se pueden poner en lugar de M y N, de modo que se cumpla que:

∂I∂xdx + ∂I∂ydy = 0

y nuestro trabajo es encontrar esa función mágica I(x, y), si es que existe.

¡Podemos saber al principio si es una ecuación exacta o no!

Imagina que hacemos estas derivadas parciales:

∂M∂y = 2I∂y ∂x

∂N∂x = 2I∂y ∂x

¡Terminan siendo iguales! Y entonces esto será cierto:

∂M∂y = ∂N∂x

En este caso, tenemos una "ecuación exacta" y podemos continuar.

Y para descubrir I (x, y) lo hacemos YA SEA:

Y luego hay un trabajo extra (te lo mostraremos) para llegar a la solución general

I(x, y) = C

 

¡Veámoslo en acción!

Ejemplo 1: Resolver

(3x2y3 − 5x4) dx + (y + 3x3y2) dy = 0

En este caso tenemos:

Evaluamos las derivadas parciales para verificar su exactitud.


¡Son iguales! Por lo tanto nuestra ecuación es exacta.

Podemos continuar.

Ahora queremos descubrir I(x, y)

Hagamos la integración con x como variable independiente:

I(x, y) = M(x, y) dx

= (3x2y3 − 5x4) dx

= x3y3 − x5 + f(y)

Nota: f(y) es nuestra versión de la constante de integración "C" porque (debido a la derivada parcial) tenemos a y como parámetro fijo, aunque sabemos que es realmente una variable.

Entonces ahora tenemos que descubrir f(y)

Al comienzo de esta página dijimos que N(x, y) se puede reemplazar por ∂I∂y, por lo tanto:

∂I∂y = N(x, y)

Y tenemos:

3x3y2 + dfdy = y + 3x3y2

Cancelamos términos:

dfdy = y

Integramos ambos lados:

f(y) = y22 + C

Ya tenemos f(y). Ahora la ponemos en su lugar:

I(x, y) = x3y3 − x5 + y22 + C

y la solución general (como se mencionó antes de este ejemplo) es:

I(x, y) = C

¡Vaya! Esa "C" puede ser un valor diferente a la "C" de antes. Pero ambas significan "cualquier constante", por lo tanto llamémoslas C1 y C2 y luego coloquémoslas en la C de abajo diciendo que C = C1 + C2

Por lo que tenemos:

x3y3 − x5 + y22 = C

¡Y así es como funciona este método!

Dado que ese fue nuestro primer ejemplo, vayamos más allá y asegurémonos de que nuestra solución sea correcta.

Derivemos I(x, y) con respecto a x, es decir:

Evaluemos ∂I∂x

Empezamos con:

I(x, y) = x3y3 − x5 + y22

Usando diferenciación implícita obtenemos

∂I∂x = x33y2y' + 3x2y3 − 5x4 + yy'

Simplificamos

∂I∂x =  3x2y3 − 5x4 + y'(y +  3x3y2)

Usamos que y' = dydx y ∂I∂x = 0, luego multiplicamos todo por dx para tener finalmente:

(y +  3x3y2)dy + (3x2y3 − 5x4)dx = 0

la cual es nuestra ecuación diferencial original.

Y entonces sabemos que nuestra solución es correcta.


Ejemplo 2: Resolver

(3x2 − 2xy + 2)dx + (6y2 − x2 + 3)dy = 0

Luego:


¡La ecuación es exacta!

Ahora vamos a encontrar la función I(x, y)

Esta vez probemos con I(x, y) = N(x, y)dy

De modo que I(x, y) = (6y2 − x2 + 3)dy

I(x, y) = 2y3 − x2y + 3y + g(x)    (ecuación 1)

Ahora diferenciamos I(x, y) con respecto a x y la igualamos a M:

∂I∂x = M(x, y)

0 − 2xy + 0 + g'(x) = 3x2 − 2xy + 2

−2xy + g'(x) = 3x2 − 2xy + 2

g'(x) = 3x2 + 2

Y al integrar:

g(x) = x3 + 2x + C     (ecuación 2)

Ahora podemos reemplazar g(x) de la ecuación 2 en la ecuación 1:

I(x, y) = 2y3 − x2y + 3y + x3 + 2x + C

Y la solución general es de la forma

I(x, y) = C

y así (recordando que las dos "C" anteriores son constantes diferentes que se pueden convertir en una usando C = C1 + C2) obtenemos:

2y3 − x2y + 3y + x3 + 2x = C

¡Resuelto!


Ejemplo 3: Resolver

(xcos(y) − y)dx + (xsin(y) + x)dy = 0

Empezamos con:

M = (xcos(y) − y)dx

∂M∂y = −xsin(y) − 1

N = (xsin(y) + x)dy

∂N∂x = sin(y) + 1


Y vemos que

∂M∂y∂N∂x


¡Entonces esta ecuación no es exacta!


Ejemplo 4: Resolver

[y2 − x2sin(xy)]dy + [cos(xy) − xy sin(xy) + e2x]dx = 0

M = cos(xy) − xy sin(xy) + e2x

∂M∂y = −x2y cos(xy) − 2x sin(xy)

N = y2 − x2sin(xy)

∂N∂x = −x2y cos(xy) − 2x sin(xy)

¡Son iguales! Por lo tanto nuestra ecuación es exacta.

Esta vez evaluaremos I(x, y) = M(x, y)dx

I(x, y) = (cos(xy) − xy sin(xy) + e2x)dx

Al usar integración por partes tenemos:

I(x, y) = 1ysin(xy) + x cos(xy) − 1ysin(xy) + 12e2x + f(y)

I(x, y) = x cos(xy) + 12e2x + f(y)

Ahora evaluamos la derivada con respecto a y

∂I∂y = −x2sin(xy) + f'(y)

Y eso es igual a N, que es igual a M:

∂I∂y = N(x, y)

−x2sin(xy) + f'(y) = y2 − x2sin(xy)

f'(y) = y2 − x2sin(xy) + x2sin(xy)

f'(y) = y2 

f(y) = 13y3

Entonces nuestra solución general de I(x, y) = C se convierte en:

xcos(xy) + 12e2x + 13y3 = C

¡Listo!

Factores Integrantes

Algunas ecuaciones que no son exactas pueden multiplicarse por algún factor, una función u(x, y), para hacerlas exactas.

Cuando existe esta función u (x, y) se le llama factor integrante. Hará válida la siguiente expresión:

∂(u·N(x, y))∂x = ∂(u·M(x, y))∂y

Hay algunos casos especiales:

Exploremos estos casos ...

 

Factores integrantes con u(x, y) = xmyn

Ejemplo 5: (y2 + 3xy3)dx + (1 − xy)dy = 0


M = y2 + 3xy3

∂M∂y = 2y + 9xy2

N = 1 − xy

∂N∂x = −y

Queda claro que ∂M∂y∂N∂x

Pero podemos intentar hacerla exacta multiplicando cada parte de la ecuación por xmyn:

(xmyny2 + xmyn3xy3) dx + (xmyn − xmynxy) dy = 0

Lo cual se "simplifica" a:

(xmyn+2 + 3xm+1yn+3)dx + (xmyn − xm+1yn+1)dy = 0

Y ahora tenemos:

M = xmyn+2 + 3xm+1yn+3

∂M∂y = (n + 2)xmyn+1 + 3(n + 3)xm+1yn+2

N = xmyn − xm+1yn+1

∂N∂x = mxm−1yn − (m + 1)xmyn+1 

Y queremos ∂M∂y = ∂N∂x

Entonces, elijamos los valores correctos de m y n para hacer la ecuación exacta.

Igualemos:

(n + 2)xmyn+1 + 3(n + 3)xm+1yn+2 = mxm−1yn − (m + 1)xmyn+1 

Reordenamos y simplificamos:

[(m + 1) + (n + 2)]xmyn+1 + 3(n + 3)xm+1yn+2 − mxm−1yn = 0 


Para que sea igual a cero, cada coeficiente debe ser igual a cero, por lo tanto:

  1. (m + 1) + (n + 2) = 0
  2. 3(n + 3) = 0
  3. m = 0

El último, m = 0, ¡es de gran ayuda! Con m=0 podemos calcular que n = −3

Y el resultado es:

xmyn = y−3

Ahora necesitamos multiplicar nuestra ecuación diferencial original por y−3:

(y−3y2 + y−33xy3) dx + (y−3 − y−3xy) dy

Y queda así:

(y−1 + 3x)dx + (y−3 − xy−2)dy = 0


Y esta nueva ecuación debería ser exacta, pero comprobemos nuevamente:

M = y−1 + 3x

∂M∂y = −y−2

N = y−3 − xy−2

∂N∂x = −y−2

∂M∂y = ∂N∂x


¡Son iguales! ¡Nuestra ecuación ahora es exacta!

Entonces continuemos:

I(x, y) = N(x, y)dy

I(x, y) = (y−3 − xy−2)dy

I(x, y) = −12y−2 + xy−1 + g(x)

Ahora, para determinar la función g(x) evaluamos

∂I∂x = y−1 + g'(x)

Y eso es igual a M = y−1 + 3x, por lo tanto:

y−1 + g'(x) = y−1 + 3x

Luego:

g'(x) = 3x

g(x) = 32x2

Entonces la solución general de I(x, y) = C es:

−12y−2 + xy−1 + 32x2 = C

 

Factores integrantes con u(x, y) = u(x)

Para u(x, y) = u(x) debemos verificar esta importante condición:

La expresión:

Z(x) = 1N [∂M∂y∂N∂x]

no debe tener términos en y, por lo tanto el factor integrante es solo una función de x


Si la condición anterior es verdadera, entonces nuestro factor integrante es:

u(x) = eZ(x)dx

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 6: (3xy − y2)dx + x(x − y)dy = 0

M = 3xy − y2

∂M∂y = 3x − 2y

N = x(x − y)

∂N∂x = 2x − y

∂M∂y∂N∂x

Entonces, nuestra ecuación no es exacta.

Calculemos Z(x):

Z(x) = 1N [∂M∂y∂N∂x ]
= 1N [ 3x−2y − (2x−y) ]
= x−yx(x−y)
= 1x

Entonces Z(x) es una función solo de x, ¡yay!


Entonces nuestro factor integrante es

u(x) = eZ(x)dx

= e(1/x)dx

= eln(x)

= x

Ahora que encontramos el factor integrante, multipliquemos la ecuación diferencial por él.

x[(3xy − y2)dx + x(x − y)dy = 0]

Y se tiene

(3x2y − y2)dx + (x3 − x2y)dy = 0

Debería ser exacta. Comprobemos:

M = 3x2y − y2

∂M∂y = 3x2 − 2xy

N = x3 − x2y

∂N∂x = 3x2 − 2xy

∂M∂y = ∂N∂x

¡Por lo tanto nuestra ecuación es exacta!

Ahora la resolvemos de la misma manera que los ejemplos anteriores.

I(x, y) = M(x, y)dx

= (3x2y − y2)dx

= x3y − xy2 + f(y)

Para encontrar la función f(y) evaluamos

∂I∂y = x3 − 2xy + f'(y)

Y eso debe ser igual a

N = x3 − x2y

Y se tiene

x3 − 2xy + f'(y) = x3 − x2y

Entonces

f'(y) = 2xy − x2y

Integramos y nos queda

f(y) = xy212x2y2

Sustituyendo obtenemos la solución general I(x, y) = c

x3y − 12x2y2 = c

¡Resuelto!

 

Factores integrantes con u(x, y) = u(y)

u(x, y) = u(y) es muy similar al caso anterior u(x, y) = u(x)

Entonces, de manera análoga, tenemos:

La expresión:

1M[∂N∂x∂M∂y]

no debe tener términos en x, por lo tanto el factor integrante es solo una función de y.

Y si esa condición es verdadera, llamamos a esa expresión Z(y) y nuestro factor integrante es

u(y) = eZ(y)dy

Y podemos continuar como en el ejemplo anterior

 
¡Y ahí lo tienes!