Ecuaciones Exactas y Factores Integrantes
¡Hola! ¡Antes de continuar leyendo deberías tener una buena idea sobre ecuaciones diferenciales y derivadas parciales!
Ecuación Exacta
Una ecuación es "exacta" cuando una ecuación diferencial de primer orden como esta:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
tiene cierta función especial I(x, y) cuyas derivadas parciales se pueden poner en lugar de M y N, de modo que se cumpla que:
∂I∂xdx + ∂I∂ydy = 0
y nuestro trabajo es encontrar esa función mágica I(x, y), si es que existe.
¡Podemos saber al principio si es una ecuación exacta o no!
Imagina que hacemos estas derivadas parciales:
∂M∂y = ∂2I∂y ∂x
∂N∂x = ∂2I∂y ∂x
¡Terminan siendo iguales! Y entonces esto será cierto:
∂M∂y = ∂N∂x
En este caso, tenemos una "ecuación exacta" y podemos continuar.
Y para descubrir I (x, y) lo hacemos YA SEA:
- I(x, y) = ∫M(x, y) dx (con x como variable independiente), O
- I(x, y) = ∫N(x, y) dy (con y como variable independiente)
Y luego hay un trabajo extra (te lo mostraremos) para llegar a la solución general
I(x, y) = C
¡Veámoslo en acción!
Ejemplo 1: Resolver
(3x2y3 − 5x4) dx + (y + 3x3y2) dy = 0
En este caso tenemos:
- M(x, y) = 3x2y3 − 5x4
- N(x, y) = y + 3x3y2
Evaluamos las derivadas parciales para verificar su exactitud.
- ∂M∂y = 9x2y2
- ∂N∂x = 9x2y2
¡Son iguales! Por lo tanto nuestra ecuación es exacta.
Podemos continuar.
Ahora queremos descubrir I(x, y)
Hagamos la integración con x como variable independiente:
I(x, y) = ∫M(x, y) dx
= ∫(3x2y3 − 5x4) dx
= x3y3 − x5 + f(y)
Nota: f(y) es nuestra versión de la constante de integración "C" porque (debido a la derivada parcial) tenemos a y como parámetro fijo, aunque sabemos que es realmente una variable.
Entonces ahora tenemos que descubrir f(y)
Al comienzo de esta página dijimos que N(x, y) se puede reemplazar por ∂I∂y, por lo tanto:
∂I∂y = N(x, y)
Y tenemos:
3x3y2 + dfdy = y + 3x3y2
Cancelamos términos:
dfdy = y
Integramos ambos lados:
f(y) = y22 + C
Ya tenemos f(y). Ahora la ponemos en su lugar:
I(x, y) = x3y3 − x5 + y22 + C
y la solución general (como se mencionó antes de este ejemplo) es:
I(x, y) = C
¡Vaya! Esa "C" puede ser un valor diferente a la "C" de antes. Pero ambas significan "cualquier constante", por lo tanto llamémoslas C1 y C2 y luego coloquémoslas en la C de abajo diciendo que C = C1 + C2
Por lo que tenemos:
x3y3 − x5 + y22 = C
¡Y así es como funciona este método!
Dado que ese fue nuestro primer ejemplo, vayamos más allá y
asegurémonos de que nuestra solución sea correcta.
Derivemos I(x, y) con respecto a x, es decir:
Evaluemos ∂I∂x
Empezamos con:
I(x, y) = x3y3 − x5 + y22
Usando diferenciación implícita obtenemos
∂I∂x = x33y2y' + 3x2y3 − 5x4 + yy'
Simplificamos
∂I∂x = 3x2y3 − 5x4 + y'(y + 3x3y2)
Usamos que y' = dydx y ∂I∂x = 0, luego multiplicamos todo por dx para tener finalmente:
(y + 3x3y2)dy + (3x2y3 − 5x4)dx = 0
la cual es nuestra ecuación diferencial original.
Y entonces sabemos que nuestra solución es correcta.
Ejemplo 2: Resolver
(3x2 − 2xy + 2)dx + (6y2 − x2 + 3)dy = 0
- M = 3x2 − 2xy + 2
- N = 6y2 − x2 + 3
Luego:
- ∂M∂y = −2x
- ∂N∂x = −2x
¡La ecuación es exacta!
Ahora vamos a encontrar la función I(x, y)
Esta vez probemos con I(x, y) = ∫N(x, y)dy
De modo que I(x, y) = ∫(6y2 − x2 + 3)dy
I(x, y) = 2y3 − x2y + 3y + g(x) (ecuación 1)
Ahora diferenciamos I(x, y) con respecto a x y la igualamos a M:
∂I∂x = M(x, y)
0 − 2xy + 0 + g'(x) = 3x2 − 2xy + 2
−2xy + g'(x) = 3x2 − 2xy + 2
g'(x) = 3x2 + 2
Y al integrar:
g(x) = x3 + 2x + C (ecuación 2)
Ahora podemos reemplazar g(x) de la ecuación 2 en la ecuación 1:
I(x, y) = 2y3 − x2y + 3y + x3 + 2x + C
Y la solución general es de la forma
I(x, y) = C
y así (recordando que las dos "C" anteriores son constantes diferentes que se pueden convertir en una usando C = C1 + C2) obtenemos:
2y3 − x2y + 3y + x3 + 2x = C
¡Resuelto!
Ejemplo 3: Resolver
(xcos(y) − y)dx + (xsin(y) + x)dy = 0
Empezamos con:
M = (xcos(y) − y)dx
∂M∂y = −xsin(y) − 1
N = (xsin(y) + x)dy
∂N∂x = sin(y) + 1
Y vemos que
∂M∂y ≠ ∂N∂x
Ejemplo 4: Resolver
[y2 − x2sin(xy)]dy + [cos(xy) − xy sin(xy) + e2x]dx = 0
M = cos(xy) − xy sin(xy) + e2x
∂M∂y = −x2y cos(xy) − 2x sin(xy)
N = y2 − x2sin(xy)
∂N∂x = −x2y cos(xy) − 2x sin(xy)
¡Son iguales! Por lo tanto nuestra ecuación es exacta.
Esta vez evaluaremos I(x, y) = ∫M(x, y)dx
I(x, y) = ∫(cos(xy) − xy sin(xy) + e2x)dx
Al usar integración por partes tenemos:
I(x, y) = 1ysin(xy) + x cos(xy) − 1ysin(xy) + 12e2x + f(y)
I(x, y) = x cos(xy) + 12e2x + f(y)
Ahora evaluamos la derivada con respecto a y
∂I∂y = −x2sin(xy) + f'(y)
Y eso es igual a N, que es igual a M:
∂I∂y = N(x, y)
−x2sin(xy) + f'(y) = y2 − x2sin(xy)
f'(y) = y2 − x2sin(xy) + x2sin(xy)
f'(y) = y2
f(y) = 13y3
Entonces nuestra solución general de I(x, y) = C se convierte en:
xcos(xy) + 12e2x + 13y3 = C
¡Listo!
Factores Integrantes
Algunas ecuaciones que no son exactas pueden multiplicarse por algún
factor, una función u(x, y), para hacerlas exactas.
Cuando existe esta función u (x, y) se le llama factor
integrante. Hará válida la siguiente expresión:
∂(u·N(x, y))∂x = ∂(u·M(x, y))∂y
- u(x, y) = xmyn
- u(x, y) = u(x) (es decir, u es una función solo de x)
- u(x, y) = u(y) (es decir, u es una función solo de y)
Exploremos estos casos ...
Factores integrantes con u(x, y) = xmyn
Ejemplo 5: (y2 + 3xy3)dx + (1 − xy)dy = 0
M = y2 + 3xy3
∂M∂y = 2y + 9xy2
N = 1 − xy
∂N∂x = −y
Queda claro que ∂M∂y ≠ ∂N∂x
Pero podemos intentar hacerla exacta multiplicando cada parte de la ecuación por xmyn:
Lo cual se "simplifica" a:
(xmyn+2 + 3xm+1yn+3)dx + (xmyn − xm+1yn+1)dy = 0
Y ahora tenemos:
M = xmyn+2 + 3xm+1yn+3
∂M∂y = (n + 2)xmyn+1 + 3(n + 3)xm+1yn+2
N = xmyn − xm+1yn+1
∂N∂x = mxm−1yn − (m + 1)xmyn+1
Y queremos ∂M∂y = ∂N∂x
Entonces, elijamos los valores correctos de m y n para hacer la ecuación exacta.
Igualemos:
(n + 2)xmyn+1 + 3(n + 3)xm+1yn+2 = mxm−1yn − (m + 1)xmyn+1
Reordenamos y simplificamos:
[(m + 1) + (n + 2)]xmyn+1 + 3(n + 3)xm+1yn+2 − mxm−1yn = 0
Para que sea igual a cero, cada coeficiente debe ser igual a
cero, por lo tanto:
- (m + 1) + (n + 2) = 0
- 3(n + 3) = 0
- m = 0
El último, m = 0, ¡es de gran ayuda! Con m=0 podemos calcular que n = −3
Y el resultado es:
xmyn = y−3
Ahora necesitamos multiplicar nuestra ecuación diferencial original por y−3:
Y queda así:
(y−1 + 3x)dx + (y−3 − xy−2)dy = 0
Y esta nueva ecuación debería ser exacta, pero comprobemos
nuevamente:
M = y−1 + 3x
∂M∂y = −y−2
N = y−3 − xy−2
∂N∂x
= −y−2
∂M∂y = ∂N∂x
¡Son iguales! ¡Nuestra ecuación ahora es exacta!
Entonces continuemos:
I(x, y) = ∫N(x, y)dy
I(x, y) = ∫(y−3 − xy−2)dy
I(x, y) = −12y−2 + xy−1 + g(x)
Ahora, para determinar la función g(x) evaluamos
∂I∂x = y−1 + g'(x)
Y eso es igual a M = y−1 + 3x, por lo tanto:
y−1 + g'(x) = y−1 + 3x
Luego:
g'(x) = 3x
g(x) = 32x2
Entonces la solución general de I(x, y) = C es:
−12y−2 + xy−1 + 32x2 = C
Factores integrantes con u(x, y) = u(x)
Para u(x, y) = u(x) debemos verificar esta importante condición:
La expresión:
no debe tener términos en y, por lo tanto el factor integrante es solo una función de x
Si la condición anterior es verdadera, entonces nuestro factor
integrante es:
u(x) = e∫Z(x)dx
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 6: (3xy − y2)dx + x(x − y)dy = 0
M = 3xy − y2
∂M∂y = 3x − 2y
N = x(x − y)
∂N∂x
= 2x − y
∂M∂y ≠ ∂N∂x
Entonces, nuestra ecuación no es exacta.Calculemos Z(x):
Entonces Z(x) es una función solo de x, ¡yay!
Entonces nuestro factor integrante es
u(x) = e∫Z(x)dx
= e∫(1/x)dx
= eln(x)
= x
Ahora que encontramos el factor integrante, multipliquemos la ecuación diferencial por él.
x[(3xy − y2)dx + x(x − y)dy = 0]
Y se tiene
(3x2y − y2)dx + (x3 − x2y)dy = 0
Debería ser exacta. Comprobemos:
M = 3x2y − y2
∂M∂y = 3x2 − 2xy
N = x3 − x2y
∂N∂x = 3x2 − 2xy
∂M∂y = ∂N∂x
¡Por lo tanto nuestra ecuación es exacta!
Ahora la resolvemos de la misma manera que los ejemplos anteriores.
I(x, y) = ∫M(x, y)dx
= ∫(3x2y − y2)dx
= x3y − xy2 + f(y)
Para encontrar la función f(y) evaluamos
∂I∂y = x3 − 2xy + f'(y)
Y eso debe ser igual a
N = x3 − x2y
Y se tiene
x3 − 2xy + f'(y) = x3 − x2y
Entonces
f'(y) = 2xy − x2y
Integramos y nos queda
f(y) = xy2 − 12x2y2
Sustituyendo obtenemos la solución general I(x, y) = c
x3y − 12x2y2 = c
¡Resuelto!
Factores integrantes con u(x, y) = u(y)
u(x, y) = u(y) es muy similar al caso anterior u(x, y) = u(x)
Entonces, de manera análoga, tenemos:
La expresión:
1M[∂N∂x−∂M∂y]
no debe tener términos en x, por lo tanto el factor integrante es solo una función de y.
Y si esa condición es verdadera, llamamos a esa expresión Z(y) y nuestro factor integrante es
u(y) = e∫Z(y)dy
Y podemos continuar como en el ejemplo anterior
¡Y ahí lo tienes!