Funciones Homogéneas

Homogénea

Para que una función sea Homogénea debe pasar esta prueba:

f(zx,zy) = zⁿf(x,y)

En otras palabras

Homogénea es cuando podemos tomar una función: f(x,y)

multiplicar cada variable por z: f(zx,zy)

y luego reacomodarla así: zⁿf(x,y)

Un ejemplo será de ayuda:

Ejemplo: x + 3y

Empieza con: f(x,y) = x + 3y

Multiplica cada variable por z: f(zx,zy) = zx + 3zy

Reacomodemos al factorizar z: f(zx,zy) = z(x + 3y)

Y x + 3y es f(x,y): f(zx,zy) = zf(x,y)

Queda lo que queríamos, con n=1: f(zx,zy) = z¹f(x,y)

¡Sí, es homogénea!

El valor de n se llama el grado. Entonces en el ejemplo anterior el grado es 1.

Ejemplo: 4x² + y²

Empieza con: f(x,y) = 4x² + y²

Multiplica cada variable por z: f(zx,zy) = 4(zx)² + (zy)²

Queda: f(zx,zy) = 4z²x² + z²y²

Factoriza z²: f(zx,zy) = z²(4x² + y²)

Y 4x² + y² es f(x,y): f(zx,zy) = z²f(x,y)

Sí, 4x² + y² es homogénea.

Y su grado es 2.

¿Qué tal este?

Ejemplo: x³ + y²

Empieza con: f(x,y) = x³ + y²

Multiplica cada variable por z: f(zx,zy) = (zx)³ + (zy)²

Queda: f(zx,zy) = z³x³ + z²y²

Factoriza z²: f(zx,zy) = z²(zx³ + y²)

¡Pero zx³ + y² NO es f(x,y)!

Por lo que x³ + y² NO es homogénea.

Y observa que x y y tienen diferentes potencias: x³ y y² lo cual, para funciones polinomiales, suele ser una buena prueba.

Pero no todas las funciones son polinomios. Que tal esta:

Ejemplo: la función x cos(y/x)

Empieza con: f(x,y) = x cos(y/x)

Multiplica cada variable por z: f(zx,zy) = zx cos(zy/zx)

Queda: f(zx,zy) = zx cos(y/x)

Factoriza z: f(zx,zy) = z(x cos(y/x))

Y x cos(y/x) es f(x,y): f(zx,zy) = z¹f(x,y)

Por lo tanto, x cos(y/x) es homogénea, con grado 1.

Observa que (y/x) es "válido" porque (zy/zx) se simplifica de nuevo a (y/x)

Homogénea, en español, significa "del mismo tipo" o "uniforme".

Por ejemplo, la "leche homogeneizada" tiene las partes grasas distribuidas uniformemente a través de la leche (en lugar de tener leche con una capa de grasa en la parte superior).

El término homogéneo también puede aplicar a funciones como f(x), f(x,y,z) etc., es una idea general.

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Una Ecuación Diferencial es homogénea cuando se puede escribir en esta forma:

ecuación homogénea

En otras palabras, cuando puede ser así:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Y tanto M(x,y) como N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.

Aprende más sobre esto en la página sobre Resolver Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.