Límites (Definición Formal)
Acercándose ...
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!
Ejemplo:
(x2 − 1) (x − 1)
Veamos qué ocurre para x=1:
(12 − 1) (1 − 1) = (1 − 1) (1 − 1) = 0 0
Así que en lugar de calcular directamente con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
Ejemplo (continuación):
| x | (x2 − 1) (x − 1) | |
| 0.5 | 1.50000 | |
| 0.9 | 1.90000 | |
| 0.99 | 1.99000 | |
| 0.999 | 1.99900 | |
| 0.9999 | 1.99990 | |
| 0.99999 | 1.99999 | |
| ... | ... |
Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2−1) (x−1) se acerca a 2
- Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
- Pero vemos que va a ser 2
Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones.
El límite de (x2−1) (x−1) cuando x tiende a 1 es 2
Y con símbolos se escribe así:
Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"
| En un gráfico queda así:
Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2. |
 |
Formalidad
Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal.
Así que vamos a empezar por la idea general
Del español a las matemáticas
Vamos a decirlo primero en español:
"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"
Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir
"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"
Calculando "cerca"
Ahora hay que determinar cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restando un valor de otro?
Ejemplo 1: 4.01 − 4 = 0.01 
Ejemplo 2: 3.8 − 4 = −0.2 
Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta expresar es "no me importa si es negativo o positivo, solo quiero saber la distancia". La solución es usar el valor absoluto.
"Qué tan cerca" = |a−b|
Ejemplo 1: |4.01−4| = 0.01
Ejemplo 2: |3.8−4| = 0.2
Y si |a−b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:
"|f(x)−L| es pequeño cuando |x−a| es pequeño"
Y esta animación muestra lo que pasa con la función
f(x) = (x2−1) (x−1)
f(x) se acerca a L=2 cuando x se acerca a a=1,
así que |f(x)−2| es pequeño cuando |x−1| es pequeño.
Delta y Epsilon
Pero la palabra "pequeño" es español, no "matemáticas".
Tenemos que elegir dos valores que podamos comparar y que puedan ser "más pequeños que", así:
 |
tal que |f(x)−L| sea más pequeño que él | |
 |
tal que |x−a| sea más pequeño que él |
(Nota: Esas son dos letras griegas, ε es
"épsilon" y δ es "delta", a menudo se
utilizan para esto, lo que lleva a la frase "epsilon-delta")
Y tenemos:
|
"|f(x)−L|< |
¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites...
... pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:
| 1) | 2) | 3) | ||
| se cumple para cualquier >0 |
existe
y es >0 |
x no es igual que a significa 0<|x−a| |
Y así queda:
|
"para todo |
Esta es la definición formal. En realidad, parece algo aterradora, ¿no?
Pero la esencia sigue siendo algo sencillo: que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.
Cómo se usa en una demostración
Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir
| De: | A: | |
| 0<|x−a|< |
 |
|f(x)−L|< |
Normalmente esto significa encontrar una fórmula para 
(en términos de
)
que funcione.
¡Adivina y comprueba!
Sí, es correcto. Puedes:
- Jugar y manipular hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar
- Ponerla a prueba para ver si de verdad funciona.
Ejemplo: vamos a intentar probar que
- El valor al que x se acerca, "a", es 3
- El límite "L" es 10
 |
Cómo vamos de: | 0<|x−3|< |
a | |(2x+4)−10|< |
 |
Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar
| Empieza con: | |(2x+4)−10|< |
| Simplifica: | |2x−6|< |
| Saca el 2: | 2|x−3|< |
| Pasa el 2 al otro lado: | |x−3|</2 |
Aquí podemos adivinar que =/2 puede
funcionar.
Paso 2: comprueba a ver si la fórmula funciona.
Entonces, ¿podemos ir de 0<|x−3|< a |(2x+4)−10|<
... ?
Veamos ...
| Empieza con: | 0<|x−3|< |
| Sustituye : |
0<|x−3|</2 |
| Pasa el 2 al otro lado: | 0<2|x−3|< |
| Pon el 2 dentro: | 0<|2x−6|< |
| Sustituye "−6" con "+4−10" | 0<|(2x+4)−10|< |
¡Sí! Podemos ir de 0<|x−3|< a |(2x+4)−10|<
eligiendo =/2
¡LISTO!
Así que sí se cumple que siempre hay un , entonces
es verdad que:
"para cada , existe un que cumple que
|f(x)−L|< cuando 0<|x−a|< "
Y así hemos demostrado que
Conclusión
Esta demostración ha sido bastante simple, espero que explique esas palabras tan extrañas "existe un... ", y que hayas aprendido una buena manera de intentar este tipo de demostraciones.
