Conjuntos y Diagramas de Venn
Conjuntos
Un conjunto es una colección
de cosas.
Por ejemplo, los artículos que usas para vestir forman un conjunto: esto
incluye sombrero, camisa, chaqueta, pantalones, etc.
Escribes conjuntos dentro de corchetes como este:
{sombrero, camisa, chaqueta, pantalones, ...}
También puedes tener conjuntos de números:
- Conjunto de los números naturales: {0, 1, 2, 3, ...}
- Conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Los mejores amigos
Podrías tener un conjunto compuesto por tus diez mejores amigos:
- {alex, brenda, claudia, diego, eric, francisco, gael, hernán, irma, joel}
Cada amigo es un "elemento" (o "miembro") del conjunto. Es normal usar letras minúsculas para ellos.
Ahora digamos que alex, claudia, diego y hernán juegan Fútbol:
Fútbol = {alex, claudia, diego, hernán}
(Dice que el Conjunto "Fútbol" está compuesto por los elementos alex, claudia, diego y hernán.)
Y claudia, diego y joel juegan Tenis:
Tenis = {claudia, diego, joel}
Podemos poner sus nombres en dos círculos separados:
Unión
Ahora puedes enumerar a tus amigos que juegan Fútbol O Tenis.
Esto se llama "Unión" de conjuntos y tiene el símbolo especial ∪:
Fútbol ∪ Tenis = {alex, claudia, diego, hernán, joel}
No todo el mundo está en ese conjunto... solo tus amigos que juegan
Fútbol o Tenis (o ambos).
En otras palabras, combinamos los elementos de los dos conjuntos.
Podemos mostrar eso en un "Diagrama de Venn":
Diagrama de Venn: Unión de 2 conjuntos
- ¿Ves que alex, claudia, diego y hernán están en el conjunto de "Fútbol"?
- ¿Y que claudia, diego y joel están en el conjunto de "Tenis"?
- Y aquí está lo más astuto: ¡Claudia y Diego están en AMBOS conjuntos!
Intersección
"Intersección" es cuando debe estar en AMBOS conjuntos.
En nuestro caso eso significa que juegan tanto Fútbol como
Tenis ... es decir, claudia y diego.
El símbolo especial para Intersección es una "U" invertida como esta: ∩
Y así es como lo escribimos:
Fútbol ∩ Tenis = {claudia, diego}
En un diagrama de Venn:
Diagrama de Venn: intersección de 2 conjuntos
¿En qué dirección va esa "U"?
Piensa en ellas como "tazas": ∪ contiene más agua que ∩, ¿cierto?
Por lo que la unión ∪ es el que tiene más elementos que la intersección ∩
Diferencia
También puede "restar" un conjunto de otro.Por ejemplo, tomar Fútbol y restar Tenis significa gente que juega Fútbol pero NO Tenis ... en este caso, alex y hernán.
Y así es como lo escribimos:
Fútbol − Tenis = {alex, hernán}
En un diagrama de Venn:
Diagrama de Venn: diferencia de 2 conjuntos
Resumen hasta ahora
- ∪ es la Unión: está en uno de los conjuntos o en ambos conjuntos
- ∩ es la Intersección: solo en ambos conjuntos
- − es la Diferencia: en un conjunto pero no en el otro
Tres conjuntos
También puedes utilizar diagramas de Venn para 3 conjuntos.
Digamos que el tercer conjunto es "Voleibol", que juegan diego, gael y
joel:
Voleibol = {diego, gael, joel}
Pero seamos más "matemáticos" y usemos una letra mayúscula para cada conjunto:
- F representa el conjunto de los que juegan Fútbol
- T representa el conjunto de los que juegan Tenis
- V representa el conjunto de los que juegan Voleibol
El Diagrama de Venn ahora es así:
Unión de 3 conjuntos: F ∪ T ∪ V
Puedes ver (por ejemplo) que:
- diego juega Fútbol, Tenis y Voleibol
- joel juega tenis y voleibol
- alex y hernán juegan fútbol, pero no tenis ni voleibol
- nadie juega solo Tenis
Ahora podemos divertirnos un poco con uniones e intersecciones. ...
Este es solo el conjunto F
F = {alex, claudia, diego, hernán}
Esta es la Unión de Conjuntos T y V
T ∪ V = {claudia, diego, joel, gael}
Esta es la Intersección de los conjuntos F y V
F ∩ V = {diego}
Y que tal esto ...
- toma el conjunto anterior F ∩ V
- luego resta T:
Esta es la intersección de los conjuntos F y V menos el
conjunto T
(F ∩ V) − T = {}
¡Oye, no hay nada ahí!
Eso está bien, es simplemente el "Conjunto vacío". Todavía es un
conjunto, por lo que usamos las llaves sin nada adentro: {}
El Conjunto Vacío no tiene elementos: {}
Conjunto Universal
El Conjunto Universal es el conjunto que lo tiene todo. Bueno, no exactamente todo. Todo lo que nos interesa ahora.
Lamentablemente, el símbolo es la letra "U" ... que es fácil de confundir con la ∪ de Unión. Solo tienes que tener cuidado, ¿de acuerdo?
En nuestro caso, el Conjunto Universal son nuestros Diez Mejores Amigos.
U = {alex, brenda, claudia, diego, eric, francisco, gael, hernán, irma, joel}
Podemos mostrar el conjunto universal en un diagrama de Venn colocando un cuadro alrededor de todo:
Ahora puedes ver a TODOS tus diez mejores amigos, ordenados
cuidadosamente según el deporte que practican (¡o no!).
Y luego podemos hacer cosas interesantes como tomar todo el conjunto y restar
a los que juegan Fútbol:
Lo escribimos de esta manera:
U − F = {brenda, eric, francisco, gael, irma, joel}
Que se lee como "El conjunto universal menos el conjunto de fútbol es el conjunto {brenda, eric, francisco, gael, irma, joel}".En otras palabras "todo el que no juega al fútbol".
Complemento
Y hay una forma especial de decir "todo lo que no es",
y se llama "complemento".
Lo mostramos escribiendo una pequeña "C" como esta:
Fc
Lo que significa "todo lo que NO esté en F", así:
Fc = {brenda, eric,
francisco, gael, irma, joel}
(exactamente igual que el ejemplo U − F de arriba)
Resumen
- ∪ es la Unión: está en uno de los conjuntos o en ambos conjuntos
- ∩ es la Intersección: solo en ambos conjuntos
- − es la Diferencia: en un conjunto pero no en el otro
- Ac es el Complemento de A: todo lo que no está en A
- Conjunto Vacío: el conjunto sin elementos. Representado por {}
- Conjunto Universal: todas las cosas que nos interesan
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).