Conjuntos y Diagramas de Venn

Conjuntos

conjunto de prendas

Un conjunto es una colección de cosas.

Por ejemplo, los artículos que usas para vestir forman un conjunto: esto incluye sombrero, camisa, chaqueta, pantalones, etc.

Escribes conjuntos dentro de corchetes como este:

{sombrero, camisa, chaqueta, pantalones, ...}

También puedes tener conjuntos de números:

Los mejores amigos

Podrías tener un conjunto compuesto por tus diez mejores amigos:

Cada amigo es un "elemento" (o "miembro") del conjunto. Es normal usar letras minúsculas para ellos.

 

equipos de fútbol

Ahora digamos que alex, claudia, diego y hernán juegan Fútbol:

Fútbol = {alex, claudia, diego, hernán}

(Dice que el Conjunto "Fútbol" está compuesto por los elementos alex, claudia, diego y hernán.)

 

tenis

Y claudia, diego y joel juegan Tenis:

Tenis = {claudia, diego, joel}

 

Podemos poner sus nombres en dos círculos separados:

fúbol y tenis

Unión

Ahora puedes enumerar a tus amigos que juegan Fútbol O Tenis.

Esto se llama "Unión" de conjuntos y tiene el símbolo especial :

Fútbol Tenis = {alex, claudia, diego, hernán, joel}

No todo el mundo está en ese conjunto... solo tus amigos que juegan Fútbol o Tenis (o ambos).

En otras palabras, combinamos los elementos de los dos conjuntos.

Podemos mostrar eso en un "Diagrama de Venn":

Unión de fútbol y tenis
Diagrama de Venn: Unión de 2 conjuntos

Un diagrama de Venn es inteligente porque muestra mucha información:
Todo eso en un pequeño diagrama.

Intersección

"Intersección" es cuando debe estar en AMBOS conjuntos.

En nuestro caso eso significa que juegan tanto Fútbol como Tenis ... es decir, claudia y diego.

El símbolo especial para Intersección es una "U" invertida como esta: ∩

Y así es como lo escribimos:

Fútbol Tenis = {claudia, diego}

En un diagrama de Venn:

Fútbol y Tenis - Intersección
Diagrama de Venn: intersección de 2 conjuntos

 

¿En qué dirección va esa "U"?

símbolo de Unión como una taza

Piensa en ellas como "tazas": contiene más agua que , ¿cierto?

Por lo que la unión es el que tiene más elementos que la intersección

Diferencia

También puede "restar" un conjunto de otro.

Por ejemplo, tomar Fútbol y restar Tenis significa gente que juega Fútbol pero NO Tenis ... en este caso, alex y hernán.

Y así es como lo escribimos:

Fútbol Tenis = {alex, hernán}

En un diagrama de Venn:

Fútbol y Tenis - Diferencia
Diagrama de Venn: diferencia de 2 conjuntos

Resumen hasta ahora

Tres conjuntos

También puedes utilizar diagramas de Venn para 3 conjuntos.

Digamos que el tercer conjunto es "Voleibol", que juegan diego, gael y joel:

Voleibol = {diego, gael, joel}

Pero seamos más "matemáticos" y usemos una letra mayúscula para cada conjunto:

El Diagrama de Venn ahora es así:

Fútbol, Tenis y Voléibol

Unión de 3 conjuntos: F T V

Puedes ver (por ejemplo) que:

Ahora podemos divertirnos un poco con uniones e intersecciones. ...

Fútbol, Voléibol y Tenis
Este es solo el conjunto F

F = {alex, claudia, diego, hernán}

 

Fútbol, Voléibol y Tenis
Esta es la Unión de Conjuntos T y V

T V = {claudia, diego, joel, gael}

 

Fútbol, Voléibol y Tenis
Esta es la Intersección de los conjuntos F y V

F V = {diego}

Y que tal esto ...

Fútbol, Voléibol y Tenis
Esta es la intersección de los conjuntos F y V menos el conjunto T

(F V) T = {}

¡Oye, no hay nada ahí!

Eso está bien, es simplemente el "Conjunto vacío". Todavía es un conjunto, por lo que usamos las llaves sin nada adentro: {}

El Conjunto Vacío no tiene elementos: {}

Conjunto Universal

El Conjunto Universal es el conjunto que lo tiene todo. Bueno, no exactamente todo. Todo lo que nos interesa ahora.

Lamentablemente, el símbolo es la letra "U" ... que es fácil de confundir con la ∪ de Unión. Solo tienes que tener cuidado, ¿de acuerdo?

En nuestro caso, el Conjunto Universal son nuestros Diez Mejores Amigos.

U = {alex, brenda, claudia, diego, eric, francisco, gael, hernán, irma, joel}

Podemos mostrar el conjunto universal en un diagrama de Venn colocando un cuadro alrededor de todo:

Fútbol, Voléibol y Tenis

Ahora puedes ver a TODOS tus diez mejores amigos, ordenados cuidadosamente según el deporte que practican (¡o no!).

Y luego podemos hacer cosas interesantes como tomar todo el conjunto y restar a los que juegan Fútbol:

Fútbol, Voléibol y Tenis

Lo escribimos de esta manera:

U F = {brenda, eric, francisco, gael, irma, joel}

Que se lee como "El conjunto universal menos el conjunto de fútbol es el conjunto {brenda, eric, francisco, gael, irma, joel}".

En otras palabras "todo el que no juega al fútbol".

Complemento

Y hay una forma especial de decir "todo lo que no es", y se llama "complemento".

Lo mostramos escribiendo una pequeña "C" como esta:

Fc

Lo que significa "todo lo que NO esté en F", así:

Fútbol, Voléibol y Tenis

Fc = {brenda, eric, francisco, gael, irma, joel}
(exactamente igual que el ejemplo U − F de arriba)

 

Resumen

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).