Multiplicación de Negativos

Cuando Multiplicas ...

      Ejemplo
más × más dos positivos, obtienes un positivo: más 3 × 2 = 6
       
menos × más Un positivo y un negativo,obtienes un negativo: menos (−3) × 2 = −6
       
más × menos Un negativo y un positivo obtienes un negativo: menos 3 × (−2) = −6
       
menos × menos Dos negativos, obtienes un positivo: más (−3) × (−2) = 6

Entonces, un negativo multiplicado por un positivo da un negativo…
¡Pero, multiplicar dos negativos da un positivo!

Explicaremos porqué ocurre esto a través de ejemplos.

Signos

Hablemos de signos.

"+" es el signo positivo, "−" es el signo negativo.

Cuando un número no tiene signo, generalmente significa que es positivo.

Ejemplo: 5 es en realidad +5

Y podemos poner () alrededor de los números para evitar confusiones.

Ejemplo: 3 × −2 puede escribirse como 3 × (−2)

Dos signos: las reglas

multiplicar signos

"Dos signos semejantes hacen un signo positivo, dos signos diferentes hacen un signo negativo"

Ejemplo: (−2) × (+5)

Los signos son y + (un signo negativo y un signo positivo), por lo que son signos diferentes (son diferentes entre sí)

Entonces el resultado debe ser negativo:

(−2) × (+5) = −10

Ejemplo: (−4) × (−3)

Los signos son y (ambos son signos negativos), por lo que son signos iguales (entre sí)

Entonces el resultado debe ser positivo:

(−4) × (−3) = +12

¿Por qué la multiplicación de dos negativos da un positivo?

Bien, para empezar hay una explicación que tiene que ver con el “sentido común”::

el perrito no quiere verduraSi yo digo “¡Come!”, estoy estimulándote a que comas (positivo)

Pero si digo “¡No comas!” estoy haciendo lo opuesto (negativo).

Ahora, si digo: “NO no comas” (es decir, no dejes de comer), estoy diciendo que no quiero que mueras de hambre, por lo tanto es como si estuviera diciendo nuevamente “¡Come!”.
Entonces, dos negativos dan un positivo y si con esta explicación es suficiente, entonces no necesitas seguir leyendo.

Dirección

Todo depende de la dirección. ¿Te acuerdas de la Línea de Números?

línea de números

Bien, aquí tenemos al bebé Esteban dando sus primeros pasitos. Da dos pasitos por vez y hace esto tres veces, entonces se mueve 3 x 2 = 6 pasos hacia delante:

Esteban en la línea de números

Ahora, el bebé Esteban también puede caminar hacia atrás (¡es un bebito inteligente!). Su papá lo coloca nuevamente en el principio y entonces Esteban da dos pasos hacia atrás y hace esto tres veces:

Esteban en la línea de números

Una vez más el papá de Esteban lo coloca en el principio pero mirando hacia el lado opuesto. Esteban da dos pasos hacia adelante (¡para él!) pero en realidad se está dirigiendo hacia la dirección negativa. Hace esto tres veces:

Esteban en la línea de números

Nuevamente en el comienzo (¡gracias a papá!) y aún de frente a la dirección negativa, intenta caminar hacia atrás y una vez más da dos pasos a la vez. Hace esto tres veces:

Esteban en la línea de números

Así, si camina hacia atrás de frente a la dirección negativa, se mueve hacia la dirección positiva.

¡Inténtalo tú mismo! Intente caminar hacia adelante y hacia atrás, luego nuevamente, pero mirando en la otra dirección.

Más Ejemplos

Ejemplo: Dinero

Samuel te da tres billetes de $10:   +3 × +10 = ganas $30
Samuel te da tres deudas de $10:   +3 × −10 = pierdes $30
Samuel te quita tres billetes de $10:   −3 × +10 = pierdes $30
Samuel te quita tres deudas de $10:   −3 × −10 = ganas $30

Ejemplo: Un video de gente corriendo

La gente corre hacia adelante, normalmente:

Todo normal, gente corriendo hacia adelante: +1 × +1 = +1

La gente corre hacia adelante, pero el video al revés:

Parece que la gente corre al revés: +1 × −1 = −1


La gente corre hacia atrás, video normal:

Ves gente corriendo al revés: −1 × +1 = −1


La gente corre hacia atrás, pero el video al revés:

Parece que la gente corre hacia adelante: −1 × −1 = +1

Ejemplo: Niveles de Agua que Suben/Bajan

El tanque tiene 30,000 litros, y se sacan 1,000 todos los días. ¿Cuál era el nivel hace 3 días?

Sabemos que el tanque gana −1,000 cada día, y tenemos que restar esto tres veces, así que el cambio será:

−3 × −1,000 = +3,000

El cálculo completo es:

30,000 + (−3 × −1,000) = 30,000 + 3,000 = 33,000

Así que hace 3 días había 33,000 litros de agua en el tanque.

 

Tabla de multiplicar

Aquí hay otra forma de verlo.

Empieza con el tabla de multiplicar (una de 4x4 será suficiente):

× 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16

¡Ahora mira lo que sucede cuando nos adentramos en lo negativo!

Retrocedamos pasando por el cero:

× 1 2 3 4
-4 -4 -8 -12 -16
-3 -3 -6 -9 -12
-2 -2 -4 -6 -8
-1 -1 -2 -3 -4
0 0 0 0 0
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16

Mira la columna del "4", va así: -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16. Cada vez son 4 unidades más grandes.

Mira esa tabla nuevamente, asegúrate de que te sientes cómodo con su funcionamiento, porque ...

... ahora vamos más a la izquierda, pasando por el cero:

× -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16
-3 12 9 6 3 0 -3 -6 -9 -12
-2 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
-1 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
3 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
4 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16

Mismo patrón: podemos seguir a lo largo de una fila (o columna) y los valores cambian consistentemente:

¡Así que todo sigue un patrón ordenado!

¿Qué hay de multiplicar 3 o más números juntos?

Multiplica dos a la vez y sigue las reglas.

Ejemplo: ¿Cuánto es (−2) × (−3) × (−4) ?

Primero multiplica (−2) × (−3). Dos signos iguales hacen un signo positivo, así que:

(−2) × (−3) = +6

Luego multiplica +6 × (−4). Dos signos distintos forman un signo negativo, por lo que:

+6 × (−4) = −24

Resultado: (−2) × (−3) × (−4) = −24


¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10