Media geométrica

La media geométrica es un tipo especial de promedio en el que multiplicamos los números y luego sacamos una raíz cuadrada (para dos números), una raíz cúbica (para tres números), etc.

Ejemplo: ¿Cuál es la media geométrica de 2 y 18?

Primero los multiplicamos: 2 × 18 = 36
Luego (como hay dos números) sacamos la raíz cuadrada: √36 = 6

Todo en un renglón queda así:

Media geométrica de 2 y 18 = √(2 × 18) = 6

¡Es como si el área fuera la misma!

media geométrica 2x18 = 6x6

Ejemplo: ¿Cuál es la media geométrica de 10, 51.2 y 8?

Primero los multiplicamos: 10 × 51.2 × 8 = 4096
Luego (ya que hay tres números) sacamos la raíz cúbica: ³√4096 = 16

Todo en un renglón queda así:

Media geométrica = ³√(10 × 51.2 × 8) = 16

Es como si el volumen fuera el mismo:

media geométrica 10x51.2x8 = 16x16x16

Ejemplo: ¿Cuál es la media geométrica de 1, 3, 9, 27 y 81?

Primero los multiplicamos: 1 × 3 × 9 × 27 × 81 = 59049
Luego (ya que hay 5 números) sacamos la raíz 5ta: ⁵√59049 = 9

Todo en un renglón queda así:

Media geométrica = ⁵√(1 × 3 × 9 × 27 × 81) = 9

No puedo mostrarte una buena imagen de esto, pero sigue siendo cierto que:

1 × 3 × 9 × 27 × 81 = 9 × 9 × 9 × 9 × 9

Ejemplo: ¿Cuál es la media geométrica de una Molécula y una Montaña

Usando notación científica:

Una molécula de agua (por ejemplo) mide 0.275 × 10^-9 m
El monte Everest (por ejemplo) mide 8.8 × 10³ m

Media geométrica= √(0.275 × 10^-9 × 8.8 × 10³)

= √(2.42 × 10^-6)

≈ 0.0016 m

Que es 1.6 milímetros, o aproximadamente el grosor de una moneda.

Podríamos decir, de una manera aproximada,

"¡un milímetro está a medio camino entre una molécula y una montaña!"

Otro ejemplo interesante:

Ejemplo: ¿Cuál es la media geométrica de una célula y la Tierra?

Una célula de la piel mide aproximadamente 3 × 10^-8 m de largo
El diámetro de la Tierra es 1.3 × 10⁷ m

Media geométrica= √(3 × 10^-8 × 1.3 × 10⁷)

= √(3.9 × 10^-1)

= √0.39

≈ 0.6 m

¡Un niño mide aproximadamente 0.6 m de altura! Entonces podríamos decir:

"Un niño está a medio camino entre una célula y la Tierra."

Entonces, la media geométrica nos da una forma de encontrar un valor entre valores muy diferentes.

Definición

Para n números: multiplícalos todos juntos y luego toma la raíz enésima (se escribe ⁿ√ )

Más formalmente, la media geométrica de n números a₁ hasta a_n es:

ⁿ√(a₁ × a₂ × ... × a_n)

Utilidad

La Media geométrica es útil cuando queremos comparar cosas con propiedades muy diferentes.

cámara fotográfica

Ejemplo: deseas comprar una cámara nueva.

Una cámara tiene un zoom de 200 y obtiene un 8 en las reseñas.
La otra tiene un zoom de 250 y obtiene un 6 en las reseñas.

Comparando haciendo uso de la habitual media aritmética nos da (200+8)/2 = 104 vs. (250+6)/2 = 128. El zoom es un número tan grande que la calificación del usuario se pierde.

Pero las medias geométricas de las dos cámaras son:

√(200 × 8) = 40
√(250 × 6) = 38.7...

Por lo tanto, aunque el zoom es 50 unidades más grande, la calificación de usuario más baja de 6 sigue siendo importante.

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).