Raíces n-ésimas

La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial

" n-ésima "

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima), ... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc. , si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

La raíz n-ésima

• La "2da" raíz es la raíz cuadrada
• La "3ra" raíz es la raíz cúbica
• etc!

El símbolo de la raíz n-ésima

Este es el símbolo especial que significa "raíz n-ésima", es el símbolo "radical" (el de las raíces cuadradas) con una n pequeña para indicar la raíz n-ésima.

Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

¿Por qué "raíz"... ?

Cuando cuando veas "raíz" piensa "conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produce?" En el caso de √9 = 3 el árbol es "9", y la raíz es 3.

Propiedades

Ahora que sabemos lo que es una raíz n-ésima, veamos algunas propiedades:

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

n√ab = n√a × n√b

(Si n es par y suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

También funciona con la división:

n√a/b = n√a / n√b
(a≥0 y b>0)
(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Suma y restas

¡Pero no se puede hacer lo mismo con sumas y restas!

  n√a + b ≠ n√a + n√b

  n√a − b ≠ n√a − n√b

  n√aⁿ + bⁿ ≠ a + b

Ejemplo: Teorema de Pitágoras dice:

a2 + b2 = c2

Entonces podemos calcular c así:

c = √(a² + b²)

Que no es lo mismo que c = a + b, ¿verdad?

Es fácil caer en la trampa, así que ten cuidado.

También quiere decir que desgraciadamente las sumas y restas son más difíciles cuando están dentro de una raíz.

Exponentes y raíces

Un exponente a un lado del "=" se convierte en una raíz cuando se pasa al otro lado del "=":

Si  aⁿ = b  entonces a = n√b

Nota: cuando n es par entonces b debe ser ≥ 0

Raíz n-ésima de una potencia n-ésima

Cuando un valor tiene un exponente n y calculas su raíz n-ésima, recuperas el valor del principio:

... cuando a es positivo (o cero):

(cuando a ≥ 0)

... o cuando el exponente es impar:

(cuando n es impar)

... pero cuando a es negativo y el exponente es par tenemos esto:

¿Viste que −3 se convirtió en +3?

... por lo que tenemos:

(cuando a < 0 y n es par)

(Nota: |a| representa el valor absoluto de a, en otras palabras, cualquier negativo se convierte en positivo)

¡Así que eso es algo de lo que hay que tener cuidado! Lee más en Exponentes de números negativos.

Aquí está todo en una tabla:

	n es impar	n es par
a ≥ 0
a < 0

Raíz n-ésima de una potencia m-ésima

Ahora vemos qué pasa cuando el exponente y la raíz tienen valores diferentes (m y n).

n√a^m = (n√a )^m

Así que esto: raíz n-ésima de (a elevada a m)
se convierte en (raíz n-ésima de a) elevada a la potencia m

Pero hay otro método todavía más poderoso... puedes combinar el exponente y la raíz para hacer un nuevo exponente, así:

n√a^m = a^mn

El nuevo exponente es la fracción mn la cual puede ser más fácil de resolver.

n√a = a¹ⁿ

¡Quizás quieras leer ahora sobre exponentes fraccionarios para entender por qué!

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).