Cuadrados y raíces cuadradas
Para entender las raíces cuadradas primero tienes que entender los cuadrados...
Cómo se calcula el cuadrado de un número
Para calcular el cuadrado de un número, solo hay que multiplicarlo por sí mismo.
Ejemplo: ¿Cuánto es 3 al cuadrado?
3 al cuadrado | = | = 3 × 3 = 9 |
Para indicar "al cuadrado", a menudo escribimos un pequeño 2, así:
Esto nos dice "4 al cuadrado es igual a 16"
(el "2"
pequeño significa que el número aparece dos veces en la
multiplicación)
Los cuadrados desde 02 hasta 62
0 al cuadrado | = | 02 | = | 0 × 0 | = | 0 |
1 al cuadrado | = | 12 | = | 1 × 1 | = | 1 |
2 al cuadrado | = | 22 | = | 2 × 2 | = | 4 |
3 al cuadrado | = | 32 | = | 3 × 3 | = | 9 |
4 al cuadrado | = | 42 | = | 4 × 4 | = | 16 |
5 al cuadrado | = | 52 | = | 5 × 5 | = | 25 |
6 al cuadrado | = | 62 | = | 6 × 6 | = | 36 |
Los cuadrados también aparecen en la Tabla de multiplicaciones: |
Números negativos
También podemos elevar al cuadrado números negativos.
Ejemplo: ¿Qué pasa cuando elevamos al cuadrado (−5) ?
Respuesta:
(−5) × (−5) = 25
(porque negativo por negativo da positivo)
¡Eso fue interesante!
Cuando elevamos al cuadrado un número negativo obtenemos un resultado positivo.
Obtenemos lo mismo que al elevar al cuadrado un número positivo:
(Para más detalles lee: Cuadrados y raíces cuadradas en Álgebra)
Raíz cuadrada
La raíz cuadrada va en la dirección contraria:
3 al cuadrado es 9, así que la raíz cuadrada de 9 es 3
La raíz cuadrada de un número es ...
La raíz cuadrada de 9 es ...
Es lo mismo que preguntar:
¿Qué podemos multiplicar por sí mismo para obtener esto?
Nota: cuando veas "raíz" piensa "conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produce?" En este caso el árbol es "9", y la raíz es "3". |
Aquí tienes más cuadrados y raíces cuadradas:
4 | 16 | |
5 | 25 | |
6
|
36 | |
7
|
49 |
Números decimales
También funciona para números decimales.
Prueba la barra deslizante a continuación (nota: '...' significa que los decimales continúan para siempre):
Usando la barra deslizante:
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de 8?
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de 9?
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de 10?
- ¿Cuánto es 1 al cuadrado?
- ¿Cuánto es 1.1 al cuadrado?
- ¿Cuánto es 2.6 al cuadrado?
Negativos
Descubrimos anteriormente que podemos elevar al cuadrado números negativos:
Ejemplo: (−3) al cuadrado
(−3) × (−3) = 9
Y por supuesto 3 × 3 = 9 también.
Entonces la raíz cuadrada de 9 podría ser −3 o +3
Ejemplo: ¿Cuáles son las raíces cuadradas de 25?
(−5) × (−5) = 25
5 × 5 = 25
Entonces las raíces cuadradas de 25 son −5 y +5
El símbolo de raíz cuadrada
Este es el símbolo que significa "raíz cuadrada", es como una
marca de "correcto", de hecho hace cientos de años empezó siendo
un punto con un palito hacia arriba. Se le llama radical, ¡y siempre hace que las matemáticas parezcan importantes! |
Se usa así:
se lee: "la raíz cuadrada de 9 es 3"
Ejemplo: ¿Cuánto es √25?
25 = 5 × 5, en otras palabras, cuando multiplicamos 5 por sí mismo (5 × 5) obtenemos 25
Por lo que la respuesta es:
√25 = 5
¡Pero espera un minuto! ¿No puede la raíz cuadrada también ser −5? Porque (−5) × (−5) = 25 también.
- Bueno, la raíz cuadrada de 25 podría ser −5 o +5.
- Pero cuando usamos el símbolo radical √ solo damos el resultado positivo (o cero).
Ejemplo: ¿Cuánto es √36 ?
Respuesta: 6 × 6 = 36, por lo tanto √36 = 6
Cuadrados perfectos
Los cuadrados perfectos son los cuadrados de los números enteros:
Cuadrados perfectos |
|
0 | 0 |
1 | 1 |
2 | 4 |
3 | 9 |
4 | 16 |
5 | 25 |
6 | 36 |
7 | 49 |
8 | 64 |
9 | 81 |
10 | 100 |
11 | 121 |
12 | 144 |
13 | 169 |
14 | 196 |
15 | 225 |
etc... |
Trata de recordarlos hasta 12.
Calcular raíces cuadradas
Es fácil calcular la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto, pero es muy difícil calcular otras raíces cuadradas.
Ejemplo: ¿Cuánto es √10?
Bueno, 3 × 3 = 9 y 4 × 4 = 16, así que podemos adivinar que la respuesta está entre 3 y 4.
- Probamos 3.5: 3.5 × 3.5 = 12.25
- Probamos 3.2: 3.2 × 3.2 = 10.24
- Probamos 3.1: 3.1 × 3.1 = 9.61
- ...
Nos hemos acercado a 10, ¡pero tomará mucho tiempo obtener una buena respuesta!
En este punto, saco mi calculadora y dice: 3.1622776601683793319988935444327 Pero los dígitos siguen y siguen, sin ningún patrón. ¡Así que incluso la respuesta de
la calculadora es |
Nota: ese tipo de números se llaman Números Irracionales, por si deseas saber más.
La forma más fácil de calcular una raíz cuadrada
¡Usa el botón de raíz cuadrada de tu calculadora! |
Y también usa tu sentido común para asegurarse de tener la respuesta correcta.
Un método especial para calcular una raíz cuadrada
Hay muchas maneras de calcular una raíz cuadrada, pero mi favorita es una muy sencilla que da una respuesta más exacta cuantas más veces se usa:
a) empieza adivinando (digamos 4 para la raíz cuadrada de 10) | |
b) divide entre tu aproximación (10/4
= 2.5) c) suma eso a la aproximación (2.5+4=6.5) d) y divide eso entre 2, o sea calcula la mitad. (6.5/2 = 3.25) e) ahora, esa es tu nueva aproximación, empieza otra vez en b) |
- Nuestro primer intento nos llevó de 4 a 3.25
- Hacer los pasos otra vez (b a e) nos llevó a: 3.163
- Hacer los pasos otra vez (b a e) nos llevó a: 3.1623
Así que después de hacerlo tres veces la respuesta es 3.1623, que está muy bien, porque:
3.1623 x 3.1623 = 10.00014
Es divertido hacer esto ... ¿por qué no lo usas para calcular la raíz cuadrada de 2?
¿Cómo hacer aproximaciones?
¿Qué pasa si tenemos que adivinar la raíz cuadrada de un número difícil como "82,163" ...?
En ese caso, podríamos pensar que "82,163" tiene 5 dígitos, por lo que la raíz cuadrada podría tener 3 dígitos (100x100 = 10,000), y la raíz cuadrada de 8 (el primer dígito) es aproximadamente 3 (3x3 = 9), por lo que 300 es un buen comienzo.
El día raíz cuadrada
El 4 de abril de 2016 fue un día de raíz cuadrada, porque la fecha se escribe 4/4/16
El siguiente después de eso será el 5 de mayo de 2025 (5/5/25)
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).