Cuadrados y raíces cuadradas

Para entender las raíces cuadradas primero tienes que entender los cuadrados...

Cómo se calcula el cuadrado de un número

Para calcular el cuadrado de un número, solo hay que multiplicarlo por sí mismo.

Ejemplo: ¿Cuánto es 3 al cuadrado?

3 al cuadrado = 3 por 3 cuadrados = 9 cuadrados = 3 × 3 = 9

 

Para indicar "al cuadrado", a menudo escribimos un pequeño 2, así:

4 al cuadrado es 16
Esto nos dice "4 al cuadrado es igual a 16"
(el "2" pequeño significa que el número aparece dos veces en la multiplicación)

Los cuadrados desde 02 hasta 62

0 al cuadrado = 02 = 0 × 0 = 0
1 al cuadrado = 12 = 1 × 1 = 1
2 al cuadrado = 22 = 2 × 2 = 4
3 al cuadrado = 32 = 3 × 3 = 9
4 al cuadrado = 42 = 4 × 4 = 16
5 al cuadrado = 52 = 5 × 5 = 25
6 al cuadrado = 62 = 6 × 6 = 36

 

Los cuadrados también aparecen en la
Tabla de multiplicaciones:
  los cuadrados en la tabla de multiplicar

Números negativos

También podemos elevar al cuadrado números negativos.

Ejemplo: ¿Qué pasa cuando elevamos al cuadrado (−5) ?

Respuesta:

(−5) × (−5) = 25

(porque negativo por negativo da positivo)

¡Eso fue interesante!

Cuando elevamos al cuadrado un número negativo obtenemos un resultado positivo.

Obtenemos lo mismo que al elevar al cuadrado un número positivo:

5x5 = -5x-5

(Para más detalles lee: Cuadrados y raíces cuadradas en Álgebra)

Raíz cuadrada

La raíz cuadrada va en la dirección contraria:

la raíz cuadrada de 9 es 3

3 al cuadrado es 9, así que la raíz cuadrada de 9 es 3

 

La raíz cuadrada de un número es ...

... un valor que se puede multiplicar por sí mismo para dar el número original.

La raíz cuadrada de 9 es ...

... 3, porque cuando 3 se multiplica por sí mismo obtenemos 9.

Es lo mismo que preguntar:

¿Qué podemos multiplicar por sí mismo para obtener esto?

raíz de un árbol

Nota: cuando veas "raíz" piensa

"conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produce?"

En este caso el árbol es "9", y la raíz es "3".

Aquí tienes más cuadrados y raíces cuadradas:

cuadrado vs raíz cuadrada
4   16
5   25
6
  36
7
  49

Números decimales

También funciona para números decimales.

Prueba la barra deslizante a continuación (nota: '...' significa que los decimales continúan para siempre):

Usando la barra deslizante:

Negativos

Descubrimos anteriormente que podemos elevar al cuadrado números negativos:

Ejemplo: (−3) al cuadrado

(−3) × (−3) = 9

Y por supuesto 3 × 3 = 9 también.

Entonces la raíz cuadrada de 9 podría ser −3 o +3

Ejemplo: ¿Cuáles son las raíces cuadradas de 25?

(−5) × (−5) = 25

5 × 5 = 25

Entonces las raíces cuadradas de 25 son −5 y +5

El símbolo de raíz cuadrada

símbolo de radical   Este es el símbolo que significa "raíz cuadrada", es como una marca de "correcto", de hecho hace cientos de años empezó siendo un punto con un palito hacia arriba.

Se le llama radical, ¡y siempre hace que las matemáticas parezcan importantes!

Se usa así:

la raíz cuadrada de 9 es 3
se lee: "la raíz cuadrada de 9 es 3"

Ejemplo: ¿Cuánto es 25?

25 = 5 × 5, en otras palabras, cuando multiplicamos 5 por sí mismo (5 × 5) obtenemos 25

Por lo que la respuesta es:

√25 = 5

¡Pero espera un minuto! ¿No puede la raíz cuadrada también ser −5? Porque (−5) × (−5) = 25 también.

Ejemplo: ¿Cuánto es √36 ?

Respuesta: 6 × 6 = 36, por lo tanto √36 = 6

Cuadrados perfectos

Los cuadrados perfectos son los cuadrados de los números enteros:

  Cuadrados
perfectos
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
  etc...

Trata de recordarlos hasta 12.

Calcular raíces cuadradas

Es fácil calcular la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto, pero es muy difícil calcular otras raíces cuadradas.

Ejemplo: ¿Cuánto es √10?

Bueno, 3 × 3 = 9 y 4 × 4 = 16, así que podemos adivinar que la respuesta está entre 3 y 4.

Nos hemos acercado a 10, ¡pero tomará mucho tiempo obtener una buena respuesta!

calculadora

En este punto, saco mi calculadora y dice:

3.1622776601683793319988935444327

Pero los dígitos siguen y siguen, sin ningún patrón.

¡Así que incluso la respuesta de la calculadora es
solo una aproximación
!

Nota: ese tipo de números se llaman Números Irracionales, por si deseas saber más.

La forma más fácil de calcular una raíz cuadrada

tecla de raíz cuadrada   ¡Usa el botón de raíz cuadrada de tu calculadora!   tecla de raíz cuadrada

Y también usa tu sentido común para asegurarse de tener la respuesta correcta.

Un método especial para calcular una raíz cuadrada

Hay muchas maneras de calcular una raíz cuadrada, pero mi favorita es una muy sencilla que da una respuesta más exacta cuantas más veces se usa:

  a) empieza adivinando (digamos 4 para la raíz cuadrada de 10)
ciclo b) divide entre tu aproximación (10/4 = 2.5)
c) suma eso a la aproximación (2.5+4=6.5)
d) y divide eso entre 2, o sea calcula la mitad. (6.5/2 = 3.25)
e) ahora, esa es tu nueva aproximación, empieza otra vez en b)

 

Así que después de hacerlo tres veces la respuesta es 3.1623, que está muy bien, porque:

3.1623 x 3.1623 = 10.00014

Es divertido hacer esto ... ¿por qué no lo usas para calcular la raíz cuadrada de 2?

¿Cómo hacer aproximaciones?

¿Qué pasa si tenemos que adivinar la raíz cuadrada de un número difícil como "82,163" ...?

En ese caso, podríamos pensar que "82,163" tiene 5 dígitos, por lo que la raíz cuadrada podría tener 3 dígitos (100x100 = 10,000), y la raíz cuadrada de 8 (el primer dígito) es aproximadamente 3 (3x3 = 9), por lo que 300 es un buen comienzo.

El día raíz cuadrada

El 4 de abril de 2016 fue un día de raíz cuadrada, porque la fecha se escribe 4/4/16

El siguiente después de eso será el 5 de mayo de 2025 (5/5/25)

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).