Cuadrados y Raíces Cuadradas en Álgebra
Puede que quieras leer primero la Introducción a los Cuadrados y a las Raíces Cuadradas.
Cuadrados
Para elevar al cuadrado un número, simplemente multiplícalo por sí mismo ...
Ejemplo: ¿Cuánto es 3 al cuadrado?
3 al cuadrado | = | = 3 × 3 = 9 |
"Elevar al cuadrado" a menudo se escribe con un pequeño 2 como este:
Esto dice "4 al cuadrado es igual a 16"
(el pequeño 2 significa que el número aparece dos veces al multiplicar,
entonces 4×4=16)
Raíz cuadrada
Una raíz cuadrada va en la otra dirección:
3 al cuadrado es 9, entonces una raíz cuadrada de 9 es 3
Es como preguntar:
¿Qué puedo multiplicar por sí mismo para obtener esto?
Definición
Aquí está la definición:
Una raíz cuadrada de x es un número r cuyo cuadrado es x:
r2 = x
r es una raíz cuadrada de x
El símbolo de la raíz cuadrada
Este es el símbolo especial que significa "raíz cuadrada", es
como una palomita, |
Lo podemos usar así:
Nosotros decimos "raíz cuadrada de 9 es igual a 3"
Ejemplo: ¿cuánto es √36 ?
Respuesta: 6 × 6 = 36, así que √36 = 6
Números negativos
También podemos elevar al cuadrado números negativos.
Ejemplo: ¿cuánto es menos 5 al cuadrado?
- ¿elevar al cuadrado el 5, luego aplicar el menos?
- o elevar al cuadrado (−5)?
¡No está claro! Y obtenemos diferentes respuestas:
- elevar al cuadrado el 5, luego aplicar el menos: −(5×5) = −25
- elevar al cuadrado (−5): (−5)×(−5) = +25
Entonces, dejémoslo claro usando "( )".
Ejemplo Corregido: ¿cuánto es (−5)2 ?
Respuesta:
(−5) × (−5) = 25
(porque negativo por negativo da positivo)
¡Eso fue interesante!
Cuando elevamos al cuadrado un número negativo, obtenemos un resultado positivo.
Igual que cuando elevamos al cuadrado un número positivo:
Ahora, ¿recuerdas nuestra definición de una raíz cuadrada?
Una raíz cuadrada de x es un número r cuyo cuadrado es x:
r2 = x
r es una raíz cuadrada de x
Y acabamos de encontrar que:
(+5)2 = 25
(−5)2 = 25
Así que los dos valores +5 y −5 son raíces cuadradas de 25
Dos raíces cuadradas
¡Puede haber una raíz cuadrada positiva y otra negativa!Esto es importante para recordar.
Ejemplo: resolver w2 = a
Respuesta:
w = √a y w = −√a
Raíz cuadrada principal
Entonces, si realmente hay dos raíces cuadradas, ¿por qué la gente dice √25 = 5 ?
Porque √ significa la raíz cuadrada principal ... ¡la que no es negativa!
Hay dos raíces cuadradas, pero el símbolo √ significa la raíz cuadrada principal.
Ejemplo:
Las raíces cuadradas de 36 son 6 y −6
Pero √36 = 6 (no −6)
La raíz cuadrada principal a veces se denomina raíz cuadrada positiva (pero puede ser cero).
Signo más menos
± | es un símbolo especial que significa "más o menos", |
así que en lugar de escribir: | w = √a y w = −√a | |
podemos escribir: | w = ±√a |
Resumiendo
¿Porque es esto importante?
¿Por qué es importante este "más menos"? ¡Porque no queremos perder una solución!Ejemplo: Resolver x2 − 9 = 0
El "±" nos dice que incluyamos también la respuesta "−3".
Ejemplo: Resolver para x en (x − 3)2 = 16
Comprobación: (7−3)2 = 42 = 16
Comprobación: (−1−3)2 = (−4)2 = 16
Raíz cuadrada de xy
Cuando se multiplican dos números dentro de una raíz cuadrada, podemos dividirla en una multiplicación de dos raíces cuadradas, así:
√xy = √x√y
pero solo cuando x y y son mayores o iguales a 0
Ejemplo: ¿cuánto es √(100×4) ?
Y √x√y = √xy :
Ejemplo: ¿cuánto es √8√2 ?
Ejemplo: ¿cuánto es √(−8 × −2) ?
¡Parece que hemos caído en alguna trampa aquí!
Podemos usar Números
Imaginarios, pero eso lleva a una respuesta incorrecta
de −4
Oh, es cierto ......
La regla solo funciona cuando x y y son mayores o iguales que 0
Entonces no podemos usar esa regla aquí.En cambio, lo hacemos de esta manera:
√(−8 × −2) = √16 = +4
¿Por qué √xy = √x√y ?
Podemos usar el hecho de que elevar al cuadrado una raíz cuadrada nos devuelve el valor original:
(√a)2 = a
¡Asumiendo que a no es negativa!
Un exponente de un medio
Una raíz cuadrada también se puede escribir como un exponente fraccionario de un medio:
pero solo para x mayor o igual a 0
¿Qué hay de la raíz cuadrada de los negativos?
El resultado es un Número Imaginario... lee esa página para obtener más información.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).