Exponentes fraccionarios
También se llaman "radicales" o "exponentes
racionales"
Exponentes enteros
Primero, veamos los exponentes con números enteros:
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
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Otro ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
Exponentes fraccionarios:
¿Pero qué ocurre si el exponente es una fracción?
El exponente 12 es en realidad la raíz cuadrada El exponente13 es la raíz cúbica El exponente 14 es la raíz cuarta ¡Y así sucesivamente! |
¿Por qué?
Veamos porqué mediante un ejemplo
Primero, la Ley de los exponentes nos dice cómo manejar los exponentes cuando multiplicamos:
Ejemplo: x2x2 = (xx)(xx) = xxxx = x4
Lo cual nos muestra que x2x2 = x(2+2) = x4
Ahora intentemos lo mismo con exponentes fraccionarios:
Ejemplo: ¿Cuánto es 9½ × 9½ ?
9½ × 9½ = 9(½+½) = 9(1) = 9
De modo que 9½ multiplicado por sí mismo da 9.
¿Cómo se le llama a un número que, cuando se multiplica por sí mismo, nos da otro número? ¡La raíz cuadrada!
Observa:
√9 × √9 = 9
Y:
9½ × 9½ = 9
Por lo tanto 9½ es lo mismo que √9
Probamos con otra fracción
Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):
Ejemplo:
16¼ × 16¼ × 16¼ × 16¼ = 16(¼+¼+¼+¼) = 16(1) = 16
Por lo que 16¼ usado 4 veces en una multiplicación da 16,
en consecuencia 16¼
es la raíz cuarta de 16
Regla general
Funcionó para ½, también con ¼, de hecho funciona en general:
x1/n = La raíz n-ésima de x
Por lo que podemos establecer una regla general:
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Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?
Respuesta: 271/3 = 27 = 3
¿Qué pasa con fracciones más complicadas?
¿Qué tal un exponente fraccionario como 43/2?
En realidad está diciendo, eleva al cubo (3) y saca la raíz cuadrada (1/2), sin importar el orden.
Permíteme explicarlo.
Las fracciones (como m/n) se pueden separar en dos partes:
- una parte con un número entero (m), y
- una parte con una fracción del tipo 1/n
Así, dado que m/n = m × (1/n), podemos hacer lo siguiente:
El orden no importa, por lo que también funciona para m/n = (1/n) × m:
Así que tenemos esto:
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Algunos ejemplos:
Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?
43/2 = 43×(1/2) = √(43) = √(4×4×4) = √(64) = 8
o
43/2 = 4(1/2)×3 = (√4)3 = (2)3 = 8
De ambas formas se obtiene el mismo resultado.
Ejemplo: ¿Cuánto es 274/3 ?
274/3 = 274×(1/3) = (274) = (531441) = 81
o
274/3 = 27(1/3)×4 = (27)4 = (3)4 = 81
¡En este caso fue mucho más sencillo de la segunda manera!
Ahora... ¡Juega con el gráfico!
Mira cómo la curva cambia suavemente cuando juegas con las fracciones en esta animación, esto te indica que la idea de exponentes fraccionarios funciona bien.
Cosas que probar:
- Empieza con m=1 y n=1, después aumenta la n poco a poco para que veas 1/2, 1/3 y 1/4
- Después prueba m=2 y mueve la n para ver fracciones como 2/3, etc.
- Ahora haz que el exponente sea −1
- Finalmente prueba a hacer m más grande, después n más pequeño, después m más pequeño, después n más grande: la curva debería dar vueltas.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).