Exponentes fraccionarios

También se llaman "radicales" o "exponentes racionales"

Exponentes enteros

Primero, veamos los exponentes con números enteros:

8 a la potencia 2

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

  • En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Otro ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125

Exponentes fraccionarios:

¿Pero qué ocurre si el exponente es una fracción?

El exponente 12 es en realidad la raíz cuadrada

El exponente13 es la raíz cúbica

El exponente 14 es la raíz cuarta

¡Y así sucesivamente!

  exponente fraccionario: 4^(1/2) = raíz cuadrada de 4, etc.

¿Por qué?

Veamos porqué mediante un ejemplo

Primero, la Ley de los exponentes nos dice cómo manejar los exponentes cuando multiplicamos:

Ejemplo: x2x2 = (xx)(xx) = xxxx = x4

Lo cual nos muestra que x2x2 = x(2+2) = x4

Ahora intentemos lo mismo con exponentes fraccionarios:

Ejemplo: ¿Cuánto es 9½ × 9½ ?

9½ × 9½ = 9(½+½) = 9(1) = 9

De modo que 9½ multiplicado por sí mismo da 9.

¿Cómo se le llama a un número que, cuando se multiplica por sí mismo, nos da otro número? ¡La raíz cuadrada!

Observa:

√9 × √9 = 9

Y:

9½ × 9½ = 9

Por lo tanto 9½ es lo mismo que √9

Probamos con otra fracción

Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):

Ejemplo:

16¼ × 16¼ × 16¼ × 16¼ = 16(¼+¼+¼+¼) = 16(1) = 16

Por lo que 16¼ usado 4 veces en una multiplicación da 16,

en consecuencia 16¼ es la raíz cuarta de 16

Regla general

Funcionó para ½, también con ¼, de hecho funciona en general:

x1/n = La raíz n-ésima de x

Por lo que podemos establecer una regla general:

rebanada en una gráfica circular
Un exponente fraccionario como 1/n significa calcular la raíz n-ésima: x^(1/n) es la raíz enésima de x

Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?

Respuesta: 271/3 = raíz cúbica27 = 3

¿Qué pasa con fracciones más complicadas?

¿Qué tal un exponente fraccionario como 43/2?

En realidad está diciendo, eleva al cubo (3) y saca la raíz cuadrada (1/2), sin importar el orden.

Permíteme explicarlo.

Las fracciones (como m/n) se pueden separar en dos partes:

Así, dado que m/n = m × (1/n), podemos hacer lo siguiente:

m/n = m × (1/n)

El orden no importa, por lo que también funciona para m/n = (1/n) × m:

x^(m/n) = x^(1/n by m) = (x^(1/n))^m = (nth root of x)^m

Así que tenemos esto:

rebanada en una gráfica circular

Un exponente fraccionario como m/n significa:

  Calcula la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima

O calcula la raíz n-ésima y después eleva a la potencia m-ésima

x^(m/n) = raíz enésima de (x^m) = (raíz enésima de x)^m

Algunos ejemplos:

Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?

43/2 = 43×(1/2) = √(43) = √(4×4×4) = √(64) = 8

o

43/2 = 4(1/2)×3 = (√4)3 = (2)3 = 8

De ambas formas se obtiene el mismo resultado.

Ejemplo: ¿Cuánto es 274/3 ?

274/3 = 274×(1/3) = raíz cúbica(274) = raíz cúbica(531441) = 81

o

274/3 = 27(1/3)×4 = (raíz cúbica27)4 = (3)4 = 81

¡En este caso fue mucho más sencillo de la segunda manera!

Ahora... ¡Juega con el gráfico!

Mira cómo la curva cambia suavemente cuando juegas con las fracciones en esta animación, esto te indica que la idea de exponentes fraccionarios funciona bien.

Cosas que probar:


¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10