Leyes de los exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices
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El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 |
En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"
Inténtalo tú mismo:
¡Usar exponentes nos ahorra escribir muchas multiplicaciones!
Ejemplo: a7
a7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa
¿Te das cuenta que escribimos las letras juntas para representar que se multiplican? Eso lo verás muy seguido aquí.
Ejemplo: x6 = xxxxxx
La clave para las leyes
Escribir todas las letras es la clave para entender las leyes de los exponentes.
Ejemplo: x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5
Esto demuestra que x2x3 = x5, ¡pero ya lo veremos con más detalle en unos instantes!
De modo que, cuando tengas dudas, solo acuérdate de escribir todas las letras (tantas como el exponente te diga) y ve si puedes entenderlo mejor de esa forma.
Todo lo que necesitas saber...
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:
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El exponente de un número nos indica cuántas veces multiplicar el número por sí mismo. |
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Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir |
||
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Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!
Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.
Leyes de los exponentes
Aquí están las leyes (las explicaciones están después):
| Ley | Ejemplo |
|---|---|
| x1 = x | 61 = 6 |
| x0 = 1 | 70 = 1 |
| x-1 = 1/x | 4-1 = 1/4 |
| xmxn = xm+n | x2x3 = x2+3 = x5 |
| xm/xn = xm-n | x4/x2 = x4−2 = x2 |
| (xm)n = xmn | (x2)3 = x2×3 = x6 |
| (xy)n = xnyn | (xy)3 = x3y3 |
| (x/y)n = xn/yn | (x/y)2 = x2 / y2 |
| x-n = 1/xn | x-3 = 1/x3 |
| Y la ley sobre los Exponentes Fraccionarios: | |
| xm/n = n√xm = (n√x )m |
x2/3 = 3√x2 = (3√x )2 |
• Para xm / xn, es importante que x ≠ 0, porque no se permite dividir entre cero.
• Para xm/n, si n es par, entonces x ≥ 0, para evitar raíces complejas.
Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son solo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
| Ejemplo: potencias de 5 | |||
|---|---|---|---|
| ... etc... |  |
||
| 52 | 1 × 5 × 5 | 25 | |
| 51 | 1 × 5 | 5 | |
| 50 | 1 | 1 | |
| 5-1 | 1 ÷ 5 | 0.2 | |
| 5-2 | 1 ÷ 5 ÷ 5 | 0.04 | |
| ... etc... | |||
Observa la tabla con calma....verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).
La ley: xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley: xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m − n" veces.
Ejemplo: 24/22 = (2×2×2×2) / (2×2) = 2×2 = 4
Ejemplo: x4−2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
Tenemos que x4/x2 = x(4-2) = x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0 = 1:
Ejemplo: x2/x2 = x2−2 = x0 = 1
La ley: (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley: (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, solo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
La ley: (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, solo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley: xm/n = n√xm = (n√x )m
¡Okay, ésta es un poco más complicada!
Te recomiendo que primero leas Exponentes Fraccionarios, o esto tal vez no tenga sentido para ti.
En fin, la idea principal aquí es que:
x1/n = La raíz n-ésima de x
Por lo que un exponente fraccionario como 43/2 en realidad está diciendo que elevemos al cubo (3) y que calculemos la raíz cuadrada (1/2), sin importar el orden.
Tan solo recuerda de las fracciones que m/n = m × (1/n):
Ejemplo: 43/2
Solo recuerda esta característica sobre las fracciones: m/n = m × (1/n)
Ejemplo: x(mn) = x(m × 1n) = (xm)1/n = n√xm
El orden no importa, por lo que también funciona para m/n = (1/n) × m
Ejemplo: x(mn) = x(1n × m) = (x1/n)m = (n√x )m
Exponentes de exponentes ...
¿Qué tal este ejemplo?
432
Evaluamos primero el exponente de arriba, por lo que lo calcularíamos de esta forma:
| Empezamos con: | 432 | |
| 32 = 3×3: | 49 | |
| 49 = 4×4×4×4×4×4×4×4×4: | 262144 |
¡Y eso es todo!
Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto:Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?
| Exponente positivo (n>0) | 0n = 0 |
| Exponente negativo (n<0) | 0-n no está definido. (Porque la división entre cero no está definida) |
| Exponente = 0 | Ummm ... ¡lee más abajo! |
El extraño caso de 00
Hay diferentes argumentos sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado": |
x0 = 1, así que ... | 00 = 1 |
| 0n = 0, así que ... | 00 = 0 | |
| En realidad.. | 00 = "indeterminado" |
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
Hard:
