Leyes de los exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

8 a la potencia 2

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Inténtalo tú mismo:

¡Usar exponentes nos ahorra escribir muchas multiplicaciones!

Ejemplo: a7

a7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa

¿Te das cuenta que escribimos las letras juntas para representar que se multiplican? Eso lo verás muy seguido aquí.

Ejemplo: x6 = xxxxxx

La clave para las leyes

Escribir todas las letras es la clave para entender las leyes de los exponentes.

Ejemplo: x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5

Esto demuestra que x2x3 = x5, ¡pero ya lo veremos con más detalle en unos instantes!

De modo que, cuando tengas dudas, solo acuérdate de escribir todas las letras (tantas como el exponente te diga) y ve si puedes entenderlo mejor de esa forma.

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

lápiz El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces
   
flecha girando Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir
   
rebanada de gráfica circular
Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir calcular la NOTAraíz n-ésima: x^(1/n)

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!

Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Ley Ejemplo
x1 = x 61 = 6
x0 = 1 70 = 1
x-1 = 1/x 4-1 = 1/4


xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n x4/x2 = x4−2 = x2
(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn x-3 = 1/x3
Y la ley sobre los Exponentes Fraccionarios:
x^(m/n) = raíz enésima de (x^m) = (raíz enésima de x)^m x^(2/3) = raíz cúbica de (x^2) = (raíz cúbica de x)^2

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5
  ... etc...   5 veces más grande o más pequeño
52 1 × 5 × 5 25
51 1 × 5 5
50 1 1
5-1 1 ÷ 5 0.2
5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04
  ... etc...  

Observa la tabla con calma....verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m − n" veces.

Ejemplo: x4−2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

Tenemos que x4/x2 = x(4-2) = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0 = 1:

Ejemplo: x2/x2 = x2−2 = x0 = 1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, solo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, solo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice que x^(m/n) = raíz enésima de (x^m) = (raíz enésima de x)^m

¡Okay, ésta es un poco más complicada!

Te recomiendo que primero leas Exponentes Fraccionarios, o esto tal vez no tenga sentido para ti.

En fin, la idea principal aquí es que:

x1/n = La raíz n-ésima de x

Por lo que un exponente fraccionario como 43/2 en realidad está diciendo que elevemos al cubo (3) y que calculemos la raíz cuadrada (1/2), sin importar el orden.

Tan solo recuerda de las fracciones que m/n = m × (1/n):

Ejemplo: x^(m/n) = raíz enésima de (x^m) = (raíz enésima de x)^m

El orden no importa, por lo que también funciona para m/n = (1/n) × m:

Ejemplo: x^(m/n) = raíz enésima de (x^m) = (raíz enésima de x)^m

Exponentes de exponentes ...

¿Qué tal este ejemplo?

432

Evaluamos primero el exponente de arriba, por lo que lo calcularíamos de esta forma:

Empezamos con:   432
32 = 3×3:   49
49 = 4×4×4×4×4×4×4×4×4:   262144

¡Y eso es todo!

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto:

siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0
Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque la división entre cero no está definida)
Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!



El extraño caso de 00

Hay diferentes argumentos sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

x0 = 1, así que ... 00 = 1
0n = 0, así que ... 00 = 0
Cuando dudes... 00 = "indeterminado"


¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

 
Hard: