Números imaginarios

 

Un número que cuando se eleva al cuadrado da un resultado negativo.
imaginario al cuadrado => negativo

Intentos

Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:

¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.

Parece que no podemos multiplicar un número por sí solo para obtener una respuesta negativa ...

pensamiento

Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto:

i × i = −1

¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?

Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos esto:

i es igual a la raíz cuadrada de -1
Lo cual significa que i es la respuesta a la raíz cuadrada de −1.

Y eso es muy útil porque...

...simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.

Veamos:

Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de 9?

√(−9)= √(9 × −1)
 = √(9) × √(−1)
 = 3 × √(−1)
 = 3i

(Lee cómo simplificar raíces cuadradas)

¡Oye! ¡eso fue interesante! La raíz cuadrada de −9 es simplemente la raíz cuadrada de +9, multiplicada por i.

En general:

√(−x) = i√x

Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √−1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

Usando i

Ejemplo: ¿Cuánto es (5i)2 ?

(5i)2= 5i × 5i
 = 5× 5× i × i
 = 25 × i2
 = 25 × −1
 = −25
¡Interesante! Usamos un número imaginario (5i) y terminamos con una solución real (−25).

Los números imaginarios pueden ayudarnos a resolver algunas ecuaciones:

Ejemplo: Resuelve x2 + 1 = 0

Si usamos números reales no hay solución, ¡pero ahora podemos resolverlo!

Resta 1 de ambos lados:

x2 = −1

Toma la raíz cuadrada en ambos lados:

x = ± √(−1)
x = ± i

Respuesta: x = −i o +i

Comprobación:

i y j

Unidad imaginaria

La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es √(−1) (la raíz cuadrada de menos uno).

En matemáticas el símbolo para √(−1) es i (de imaginario)

Pero en electrónica se usa j (porque "i" ya es la corriente, y la letra siguiente después de la i es la j).

Ejemplos de números imaginarios

i 12.38i −i 3i/4 0.01i πi

Los números imaginarios no son "imaginarios"

De hecho hubo un tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se llamaban "imaginarios" (a modo de broma).

Pero después hubo gente que investigó más y descubrió que son útiles e importantes porque rellenan un hueco en matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo.

Y así es como surgió el nombre de los "números reales" (porque real no es imaginario).

Los números imaginarios son útiles

 

suma de vectores en el plano complejo

Números complejos

Los números imaginarios se vuelven más útiles cuando se combinan con números reales para formar números complejos como 3+5i o 6−4i

Analizador de espectro

analizador de espectro

¿Has visto esas pantallas geniales que hay cuando suena música? Sí, ¡se utilizan números complejos para los cálculos! Usando algo llamado "Transformadas de Fourier".

De hecho, se pueden hacer muchas cosas sofisticadas con el sonido usando números complejos, como filtrar sonidos, escuchar susurros en una multitud, etc.

Es parte de un área denominada "Procesamiento de señales".

 

Electricidad

enchufe
ondas sinusoidales

La CA o AC (corriente alterna) cambia de positivo a negativo siguiendo una onda sinuoidal.

Si combinas dos corrientes alternas puede que no coincidan bien, y puede ser muy difícil calcular la nueva corriente.

Pero usar números reales e imaginarios juntos hace mucho más fáciles los cálculos.

Y el resultado puede ser corriente "imaginaria", ¡pero puede hacerte daño igual!

Conjunto de Mandelbrot

 

Conjunto de Mandelbrot

El fascinante Conjunto de Mandelbrot (parte de él se muestra aquí) se basa en números complejos.

Ecuación cuadrática

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática puede dar resultados con números imaginarios...

También la ciencia, la mecánica cuántica y la relatividad utilizan números complejos.

Propiedad interesante

La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas:

1 × i   = i
i × i   = −1
−1 × i   = −i
i × i   = 1
¡De vuelta a 1!
  ciclo de i

Por lo que tenemos esto:

i = √−1 i2 = −1 i3 = −√−1 i4 = +1
i5 = √−1 i6 = −1 ...etc  

Ejemplo: ¿Cuánto es i10 ?

i10= i4 × i4 × i2
 = 1 × 1 × −1
 = −1

Y eso nos lleva a otro tema, el plano complejo:

ciclo de i en el plano complejo

Conclusión

i = raíz cuadrada de -1

La unidad imaginaria, i, es igual a la raíz cuadrada de menos 1

Los números imaginarios no son "imaginarios", son de verdad y son útiles, ¡y puedes tener que usarlos algún día!


 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10