Números Complejos
Un número complejo
Un número complejo es una combinación de
un número real y un número imaginario
Los números reales son números como:
1 | 12.38 | −0.8625 | 3/4 | √2 | 1998 |
¡Casi cualquier número que puedas imaginar es un número real!
Los números imaginarios cuando se elevan al cuadrado dan un resultado negativo.
Normalmente esto no sucede porque:
- cuando elevamos al cuadrado un número positivo obtenemos un resultado positivo, y
- cuando elevamos al cuadrado un número negativo también obtenemos un resultado positivo (porque negativo por negativo da positivo), por ejemplo −2 × −2 = +4
Pero imagínate que existen tales números, porque los queremos.
Hablemos un poco más de números imaginarios ...
La "unidad" de los números imaginarios (como 1 para los números reales) es i, que es la raíz cuadrada de −1
Porque cuando elevamos al cuadrado a i obtenemos −1
i2 = −1
Ejemplos de números imaginarios:
3i | 1.04i | −2.8i | 3i/4 | (√2)i | 1998i |
Y mantenemos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que tenemos que multiplicar por √−1
Números complejos
Cuando combinamos un número real y un número imaginario obtenemos un número complejo:
Ejemplos:
1 + i | 39 + 3i | 0.8 − 2.2i | −2 + πi | √2 + i/2 |
¿Un número que es una combinación de dos números?
¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!
Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".
Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).
Cero
Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.
Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.
Número complejo | Parte real | Parte imaginaria | |
---|---|---|---|
3 + 2i | 3 | 2 | |
5 | 5 | 0 | Real puro |
−6i | 0 | −6 | Imaginario puro |
¿Complicado?
Significa que los dos tipos de números, reales e imaginarios, juntos forman un complejo, como un complejo de edificios (edificios unidos entre sí).
Una explicación visual
¿Ves cómo la recta numérica va de izquierda a derecha?Bueno, hagamos que los números imaginarios vayan de arriba a abajo:
Y obtenemos el Plano Complejo
Ahora se puede mostrar un número complejo como un punto:
El número complejo 3 + 4i
Suma
Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Ejemplo: suma los números complejos 3 + 2i y 1 + 7i
- suma los números reales, y
- suma los números imaginarios:
(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7)i
= 4 + 9i
Prueba otro:
Ejemplo: suma los números complejos 3 + 5i y 4 − 3i
(3 + 5i) + (4 − 3i)
= 3 + 4 + (5 − 3)i
= 7 + 2i
Sobre el plano complejo queda así:
Multiplicar
Para multiplicar números complejos:
Cada parte del primer número complejo se
multiplica por
cada parte del segundo número complejo
Usa el método "PIES", que significa "Primeros, Interiores, Exteriores, Segundos" (lee multiplicación de binomios para más detalles):
|
|
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 |
De esta forma:
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i)
Aquí otro ejemplo:
Ejemplo: (1 + i)2
¡Pero hay una forma más rápida!
Usa esta regla:
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i
¿Por qué funciona esta regla?
Es solo el método "PIES" después de un poco de trabajo:
Y ahora ya tenemos el patrón (ac − bd) + (ad + bc)i.
Esta regla es ciertamente más rápida, pero si la olvidas, recuerda el método PIES.
Probemos con i2
Solo por diversión, usemos el método para calcular i2
Ejemplo: i2
Podemos escribir i con una parte real e imaginaria de esta forma 0 + i
Y eso concuerda muy bien con la definición de que i2 = −1
¡Así que todo funciona de maravilla!
Obtén más información en multiplicación
de números complejos.
Conjugados
¡Necesitaremos saber acerca de los conjugados!
Un conjugado es donde se cambia el signo del medio así:
Un conjugado a menudo se escribe con una barra sobre él:
Ejemplo:
5 − 3i = 5 + 3i
Dividir
El conjugado se usa para ayudarnos en la división compleja.El truco consiste en multiplicar tanto la parte superior como la inferior por el conjugado de la parte inferior.
Ejemplo: haz esta división:
2 + 3i4 − 5i
Multiplica arriba y abajo por el conjugado de 4 − 5i :
2 + 3i4 − 5i×4 + 5i4 + 5i = 8 + 10i + 12i + 15i216 + 20i − 20i − 25i2
Ahora, recuerda que i2 = −1, entonces:
= 8 + 10i + 12i − 1516 + 20i − 20i + 25
Suma términos similares (¡y nota como en la parte de abajo 20i − 20i se neutralizan!):
= −7 + 22i41
Por último, deberíamos volver a poner la respuesta en la forma a + bi:
= −7 41 + 2241i
¡LISTO!
Sí, hay que hacer algunos cálculos. Pero puede hacerse.
Multiplicar por el conjugado
Sin embargo, hay una forma más rápida.
En el ejemplo anterior, lo que sucedió en la parte inferior fue
interesante:
(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i2
¡Los términos del medio (20i - 20i) se cancelan! Además, i2 = −1, así que terminamos con esto:
(4 − 5i)(4 + 5i) = 42 + 52
Lo que es realmente un resultado bastante simple. La regla general es:
(a + bi)(a − bi) = a2 + b2
Podemos usar eso para ahorrarnos tiempo cuando hacemos la división, como en este ejemplo:
Ejemplo: nuevamente el mismo ejemplo
2 + 3i4 − 5i
Multiplica arriba y abajo por el conjugado de 4 − 5i :
2 + 3i4 − 5i×4 + 5i4 + 5i = 8 + 10i + 12i + 15i216 + 25
= −7 + 22i41
Y luego de vuelta a la forma a + bi:
= −7 41 + 2241i
¡LISTO!
Notación
A menudo usamos z para un número complejo. Y Re() para la parte real e Im() para la parte imaginaria, así:
Que se ve así en el plano complejo:
El conjunto de Mandelbrot
El impresionante Conjunto de
Mandelbrot (que se muestra en la foto) se basa en números
complejos. |
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Aquí hay una imagen hecha al hacer zoom en el conjunto de Mandelbrot |
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Y aquí está el centro del anterior ampliado aún más |
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).