Números complejos

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario

Ejemplos:

1 + i 12 − 3.1i -0.85 − 2i π + πi √2 + i/2

 

¿Un número que es una combinación de dos números?

¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!

Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".

Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).

Cero

Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.

Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.

Número complejo Parte real Parte imaginaria
3 + 2i 3 2
5 5 0
−6i 0 −6

 

Sumar y multiplicar

Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante:

(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = −11 + 23i

Puedes intentarlo tú mismo: escribe (3 + 2i)(1 + 7i) en la calculadora de números complejos.

Y una cosa interesante es que el cuadrado de "i" sí que es −1

Ejemplo: (0 + i)(0 + i) = ((0×0 − 1×1) + (0×1 + 1×0)i) = −1 + 0i

¡Los números imaginarios existen!

Este es un buen argumento sobre la existencia de números imaginarios:

Cuando elevas el número complejo 0+i al cuadrado tienes −1

Así que puedes elevar un número al cuadrado y tener −1 ... si usas las reglas de los números complejos.