Multiplicación de Números Complejos
Un Número Complejo es una combinación de un Número Real y un Número Imaginario:
Un Número Real es el tipo de número que usamos todos los días.
Ejemplos: 12.38, ½, 0, −2000
Un Número Imaginario, cuando lo elevamos al cuadrado da un resultado negativo:
La "unidad" imaginaria i al elevarla al cuadrado equivale a −1
i2 = −1
Ejemplos: 5i, −3.6i, i/2, 500i
Un Número Complejo es una combinación de un Número Real y un Número Imaginario:
Ejemplos: 3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 − 0.3i, 0 + 2i
Multiplicación
Para multiplicar números complejos:
Cada parte del primer número complejo
se multiplica por
cada parte del segundo número complejo
Aquí tienes una manera de acordarte de estas multiplicaciones. Usa "PIES", que significa "Primeros, Interiores, Exteriores, Segundos" (mira Multiplicación de Binomios para más detalles):
|
|
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 |
De esta forma:
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i)
Aquí hay otro ejemplo:
Ejemplo: (1 + i)2
¡Pero hay una manera más rápida!
Usa esta regla:
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
Ejemplo:
¿Por qué funciona esa regla?
Es solo el método "PIES" después de un poco de trabajo:
(a+bi)(c+di) | = | ac + adi + bci + bdi2 | método PIES | |
= | ac + adi + bci − bd | (porque i2=−1) | ||
= | (ac − bd) + (ad + bc)i | (juntar términos similares) |
Y ahí tienes el patrón (ac − bd) + (ad + bc)i.
Esta regla es ciertamente más rápida, pero si la olvidas, solo recuerde el método PIES.
Ahora veamos cómo se ve la multiplicación en el Plano Complejo.
El Plano Complejo
Éste es el plano complejo: |
¡Es un plano para números complejos! |
Podemos graficar un número complejo como 3
+ 4i :
Se coloca:
|
Multiplicar por i
Multipliquémoslo por i: (3 + 4i) x i = 3i + 4i2
Y esto se simplifica (porque i2 = −1): −4 + 3i
|
Y aquí está lo bueno ... es lo mismo que girar en ángulo recto (90° o π/2)
¿Fue solo una extraña coincidencia?
Intentemos multiplicar por i nuevamente: (−4 + 3i) x i = −4i + 3i2
= −3 − 4i
y otra vez: (−3 − 4i) x i = −3i
− 4i2 = 4 − 3i
y otra vez: (4 − 3i) x i = 4i
− 3i2 = 3 + 4i
|
Bueno, ¿no es asombroso? Cada vez que se gira noventa grados, hasta que termina donde comenzó.
Probémoslo en el número 1:
|
Cada vez una rotación en ángulo recto.
Elige tu propio número complejo y pruébalo por ti mismo, es una
buena práctica.
Miremos más de cerca los ángulos ahora.
Forma Polar
Nuestro ya conocido número complejo 3 + 4i : | ||
Aquí está de nuevo, pero en forma polar: |
De modo que el número complejo 3 + 4i también puede escribirse mediante su longitud (5) y ángulo (0.927 radianes).
¿Cómo hacemos las conversiones?
Ejemplo: el número 3 + 4i
Podemos hacer una conversión de cartesianas a polares:
- r = √(x2 + y2) = √(32 + 42) = √25 = 5
- θ = tan-1 (y/x) = tan-1 (4/3) = 0.927 (a 3 decimales)
También podemos tomar coordenadas Polares y convertirlas en coordenadas Cartesianas:
- x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0.927 ) = 5 × 0.6002... = 3 (suficientemente cerca)
- y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0.927 ) = 5 × 0.7998... = 4 (suficientemente cerca)
De hecho, una forma común de escribir un número complejo en forma Polar es
x + iy | = | r cos θ + i r sin θ |
= | r(cos θ + i sin θ) |
Y "cos θ + i sin θ" a menudo se escribe como "cis θ", así:
x + iy = r cis θ
cis es solo una abreviatura de cos θ + i sin θ
Entonces podemos escribir:3 + 4i = 5 cis 0.927
En algunas materias, como la electrónica, ¡se usa mucho "cis"!
Vamos ahora con más multiplicaciones
Probemos con otra multiplicación:
Ejemplo: Multiplicar 1+i por 3+i
Y aquí está el resultado en el Plano Complejo:
Pero es más interesante ver esos números en Forma Polar:
Ejemplo: (continuación)
Convertir 1+i a Polar:
- r = √(12 + 12) = √2
- θ = tan-1 (1/1) = 0.785 (a 3 decimales)
Convertir 3+i a Polar:
- r = √(32 + 12) = √10
- θ = tan-1 (1/3) = 0.322 (a 3 decimales)
Convertir 2+4i a Polar:
- r = √(22 + 42) = √20
- θ = tan-1 (4/2) = 1.107 (a 3 decimales)
Echa un vistazo a los valores r por un minuto. ¿Están
relacionados de alguna manera?
¿Y qué hay de los valores θ?
Aquí está esa multiplicación en un renglón (usando "cis"):
(√2 cis 0.785) × (√10 cis 0.322) = √20 cis 1.107
Esto es lo interesante:
- √2 x √10 = √20
- 0.785 + 0.322 = 1.107
Entonces:
Las magnitudes se multiplican.
Y los ángulos se suman.
Al multiplicar en forma polar: multiplica las magnitudes, suma los ángulos.
Y es por eso que multiplicar por i gira por un ángulo recto:
Elevando al cuadrado
Para elevar al cuadrado un número complejo, multiplícalo por sí mismo:
- multiplica las magnitudes: magnitud × magnitud = magnitud2
- suma los ángulos: ángulo + ángulo = 2, entonces los duplicamos.
Resultado: elevar al cuadrado las magnitudes, duplicar el ángulo.
Ejemplo: Elevemos al cuadrado 1 + 2i:
En el diagrama, el ángulo parece estar (¡y está!) duplicado.
También:
- La magnitud de (1+2i) = √(12 + 22) = √5
- La magnitud de (−3+4i) = √(32 + 42) = √25 = 5
Así que la magnitud se elevó al cuadrado, también.
En general, un número complejo como:
r(cos θ + i sin θ)
Cuando se eleva al cuadrado resulta en:
r2(cos 2θ + i sin 2θ)
(la magnitud r se eleva al cuadrado y el ángulo θ se duplica.)
O en la notación más corta "cis":
(r cis θ)2 = r2 cis 2θ
Fórmula de De Moivre
Y el matemático Abraham de Moivre descubrió que funciona para cualquier exponente entero n:
[ r(cos θ + i sin θ) ]n = rn(cos nθ + i sin nθ)
(la magnitud resulta ser rn y el ángulo se convierte en nθ.)
O en la notación más corta "cis":
(r cis θ)n = rn cis nθ
Ejemplo: Calcula (1+i)6
Convierte 1+i a Polar:
- r = √(12 + 12) = √2
- θ = tan-1 (1/1) = π/4
En notación "cis": 1+i = √2 cis π/4
Ahora, con un exponente 6, r se vuelve r6, θ se hace 6θ:
(√2 cis π/4)6 = (√2)6 cis 6π/4 = 8 cis 3π/2
La magnitud es ahora 8, y el ángulo es 3π/2 (=270°)
O lo que es lo mismo 0−8i (mira el diagrama)
Resumen
- Usa "PIES" para multiplicar números complejos,
- O usa la fórmula:
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- O usa la forma polar y luego multiplica las magnitudes y suma los ángulos.
- La fórmula de De Moivre se puede usar para exponentes enteros:
[ r(cos θ + i sin θ) ]n = rn(cos nθ + i sin nθ)
- La forma polar r cos θ + i r sin θ a veces se abrevia como r cis θ
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).