Plano Complejo


... éste es el plano complejo:

plano complejo

¡Un plano para números complejos!

(También se le conoce como "Diagrama de Argand")

Reales e Imaginarios hacen Complejos

Un número complejo es una combinación de un Número Real y un Número Imaginario:

Un número real es el tipo de número que usamos todos los días.

Ejemplos: 12.38, ½, 0, −2000

Cuando elevamos al cuadrado un número real obtenemos un resultado positivo (o cero):

22 = 2 × 2 = 4
12 = 1 × 1 = 1
02 = 0 × 0 = 0

¿Qué podemos elevar al cuadrado para obtener −1?

?2 = −1

Elevar al cuadrado −1 no funciona porque un negativo por un negativo da positivo: (−1) × (−1) = +1, y tampoco funcionaría otro Número Real.

Entonces parece que las matemáticas están incompletas ...

... pero podemos llenar el vacío imaginando que hay un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da -1
(llamémoslo i de imaginario):

i2 = −1

Un número imaginario, cuando lo elevamos al cuadrado da un resultado negativo:

un imaginario al cuadrado es negativo.

Ejemplos: 5i, -3.6i, i/2, 500i

Y juntos:

Un número complejo es una combinación de un Número Real y un Número Imaginario:

Ejemplos: 3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 − 0.3i, 0 + 2i

Poniendo un Númerjo Complejo en el Plano

Probablemente estés familiarizado con la recta numérica:

recta numérica de -10 a +10

¿Pero dónde se colocaría un número complejo como 3+4i ?

Hagamos que la recta numérica real vaya de izquierda a derecha como de costumbre, y hagamos que la recta numérica imaginaria vaya de arriba a abajo:

Podemos graficar un número complejo como 3 + 4i :

Se coloca:

  • 3 unidades a lo largo (en el eje Real),
  • y 4 unidades arriba (en el eje Imaginario).
  plano complejo 3+4i
     

Y aquí está 4 - 2i :

  • 4 unidades a lo largo (en el eje Real),
  • y 2 unidades abajo (en el eje Imaginario).
  plano complejo 4-2i

 

Y ése es el plano complejo:

  • complejo porque es una combinación de real e imaginario,
  • plano porque es como un plano geométrico (bidimensional).

Un mundo completamente nuevo

Traigamos la idea de un plano (Coordenadas Cartesianas, Coordenadas Polares, Vectores, etc.) al mundo de los números complejos.

Abrirá un mundo completamente nuevo de números que son más completos y elegantes, como verás.

El número complejo como vector

Podemos pensar en un número complejo como en un vector.

vector
Éste es un vector
Tiene magnitud (longitud) y dirección.

Y aquí tenemos en número complejo 3 + 4i

como un Vector:

  plano complejo 3+4i vector

Sumar

También puedes sumar números complejos como si fueran vectores:

Para sumar los números complejos 3 + 5i y 4 − 3i :

  • suma los números reales, y
  • suma los números imaginarios

de forma separada, de esta forma:

(3 + 5i) + (4 − 3i) =(3 + 4)+ (5 − 3)i
=7+ 2i
  suma de vectores en el plano complejo

Forma Polar

Usemos 3 + 4i nuevamente:   vector 3+4i
     

Aquí está en forma polar:

  3-4i en polares es 5 con ángulo de 0.927

De modo que el número complejo 3 + 4i también puede escribirse mediante su longitud (5) y ángulo (0.927 radianes).

Veamos cómo convertir de una forma a otra usando conversión de Cartesianas a Polares:

Ejemplo: el número 3 + 4i

Podemos hacer una conversión de Cartesianas a Polares:

  • r = √(x2 + y2) = √(32 + 42) = √25 = 5
  • θ = tan-1 (y/x) = tan-1 (4/3) = 0.927 (a 3 decimales)

 

También podemos tomar coordenadas Polares y convertirlas en coordenadas Cartesianas:

  • x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0.927 ) = 5 × 0.6002... = 3 (suficientemente cerca)
  • y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0.927 ) = 5 × 0.7998... = 4 (suficientemente cerca)

De hecho, una forma común de escribir un número complejo en forma Polar es

x + iy = r cos θ + i r sin θ
  = r(cos θ + i sin θ)

Y "cos θ + i sin θ" a menudo se escribe como "cis θ", así:

x + iy = r cis θ

cis es solo una abreviatura de cos θ + i sin θ

Entonces podemos escribir:

3 + 4i = 5 cis 0.927

En algunas materias, como la electrónica, ¡se usa mucho "cis"!

Resumen

A continuación....aprende sobre multiplicación de números complejos.

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).