Coordenadas polares y cartesianas

... y cómo convertir de una a otra.

¿Tienes prisa? Lee el resumen. Pero te recomiendo leer toda la explicación completa:

Para indicar dónde estás en un mapa o gráfico hay dos sistemas:

Coordenadas cartesianas

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

Coordenadas polares

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

Convertir

Para convertir de un sistema a otro usaremos el siguiente triángulo:

De cartesianas a polares

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Ejemplo: ¿Cuál es el punto (12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

Respuesta: el punto (12,5) es (13, 22.6°) en coordenadas polares.

¿Qué es tan^-1 ?

Es la función arcotangente (a veces llamada tangente inversa):

• La tangente toma un ángulo y arroja una razón
• La arcotangente toma una razón (como "5/12") y arroja un ángulo.

Resumen: convertir de coordenadas cartesianas (x, y) a coordenadas polares (r,θ):

r = √ ( x² + y² )
θ = tan^-1 ( y / x )

Nota: Las calculadoras pueden dar un valor incorrecto de tan^-1 () cuando x o y son negativos ... consulta más abajo para más detalles sobre esto.

De polares a cartesianas

Ejemplo: ¿Cuál es el punto (13, 22.6°) en coordenadas cartesianas?

Usamos la función coseno para x:		cos( 22.6° ) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:		x = 13 × cos( 22.6° )
		x = 13 × 0.923
		x = 12.002...
Usa la función seno para y:		sin( 22.6° ) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:		y = 13 × sin( 22.6° )
		y = 13 × 0.391
		y = 4.996...

Respuesta: el punto (13, 22.6°) es casi exactamente (12, 5) en coordenadas cartesianas.

Resumen: convertir de coordenadas polares (r, θ) a coordenadas cartesianas (x,y) :

x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

¿Cómo puedes recordarlo?

Pero, ¿qué pasa con los valores negativos de x y y?

Cuatro cuadrantes

Cuando incluimos valores negativos, los ejes x y y dividen el espacio en 4 partes:

Los cuadrantes I, II, III y IV

(Están numerados en sentido antihorario)

Al convertir de coordenadas polares a cartesianas todo funciona sin problemas:

Pero al convertir de coordenadas cartesianas a polares ...

... la calculadora puede dar un valor incorrecto de tan^-1

¡Todo depende de en cuál Cuadrante esté el punto! Usa esto para arreglar cosas:

Ejemplo: P = (−3, 10)

P está en el Cuadrante II

• r = √((−3)² + 10²)
  r = √109 = 10.4 a 1 decimal
• θ = tan^-1(10/−3)
  θ = tan^-1(−3.33...)

El valor de la calculadora para tan^-1(−3.33...) es −73.3°

La regla para el Cuadrante II es: Suma 180° al valor de la calculadora

θ = −73.3° + 180° = 106.7°

Entonces las coordenadas polares para el punto (−3, 10) son (10.4, 106.7°)

Ejemplo: Q = (5, −8)

Q está en el Cuadrante IV

• r = √(5² + (−8)²)
  r = √89 = 9.4 a 1 decimal
• θ = tan^-1(−8/5)
  θ = tan^-1(−1.6)

El valor de la calculadora para tan^-1(−1.6) es −58.0°

La regla para el Cuadrante IV es: Suma 360° al valor de la calculadora

θ = −58.0° + 360° = 302.0°

Entonces las coordenadas polares para el punto (5, −8) son (9.4, 302.0°)

Resumen

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).