Coordenadas polares y cartesianas

... y cómo convertir de una a otra.

¿Tienes prisa? Lee el resumen. Pero te recomiendo leer toda la explicación completa:



Para indicar dónde estás en un mapa o gráfico hay dos sistemas:

Coordenadas cartesianas

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

coordenadas cartesianas (12,5)

Coordenadas polares

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

Coordenadas polares 13 a 22.6 grados

Convertir

Para convertir de un sistema a otro usaremos el siguiente triángulo:

triángulo y coordenadas

De cartesianas a polares

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Ejemplo: ¿Cuál es el punto (12,5) en coordenadas polares?

De cartesianas a polares

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25)
r = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tan( θ ) = 5 / 12
θ = tan-1 ( 5 / 12 ) = 22.6° (a 1 decimal)

Respuesta: el punto (12,5) es (13, 22.6°) en coordenadas polares.

calculadora sin-cos-tan

¿Qué es tan-1 ?

Es la función arcotangente (a veces llamada tangente inversa):

 

Resumen: convertir de coordenadas cartesianas (x, y) a coordenadas polares (r,θ):

Nota: Las calculadoras pueden dar un valor incorrecto de tan-1 () cuando x o y son negativos ... consulta más abajo para más detalles sobre esto.

De polares a cartesianas

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Ejemplo: ¿Cuál es el punto (13, 22.6°) en coordenadas cartesianas?

De polares a cartesianas

Usamos la función coseno para x:   cos( 22.6° ) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:   x = 13 × cos( 22.6° )
    x = 13 × 0.923
    x = 12.002...
     
Usa la función seno para y:   sin( 22.6° ) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:   y = 13 × sin( 22.6° )
    y = 13 × 0.391
    y = 4.996...

Respuesta: el punto (13, 22.6°) es casi exactamente (12, 5) en coordenadas cartesianas.

Resumen: convertir de coordenadas polares (r, θ) a coordenadas cartesianas (x,y) :

¿Cómo puedes recordarlo?

(x,y) tiene orden alfabético,
(cos, sin) también es alfabético

Pero, ¿qué pasa con los valores negativos de x y y?

Cuadrantes

Cuatro cuadrantes

Cuando incluimos valores negativos, los ejes x y y dividen el espacio en 4 partes:

Los cuadrantes I, II, III y IV

(Están numerados en sentido antihorario)

Al convertir de coordenadas polares a cartesianas todo funciona sin problemas:

Ejemplo: ¿Cuál es el punto (12, 195°) en coordenadas cartesianas?

r = 12 y θ = 195°

Por lo que el punto está en (−11.59, −3.11), el cual queda en el Cuadrante III

Pero al convertir de coordenadas cartesianas a polares ...

... la calculadora puede dar un valor incorrecto de tan-1

¡Todo depende de en cuál Cuadrante esté el punto! Usa esto para arreglar cosas:

Cuadrante Valor de tan-1
I Usa el valor de la calculadora
II Suma 180° al valor de la calculadora
III Suma 180° al valor de la calculadora
IV Suma 360° al valor de la calculadora

ejemplo polar 1

Ejemplo: P = (−3, 10)

P está en el Cuadrante II

El valor de la calculadora para tan-1(−3.33...) es −73.3°

La regla para el Cuadrante II es: Suma 180° al valor de la calculadora
θ = −73.3° + 180° = 106.7°

Entonces las coordenadas polares para el punto (−3, 10) son (10.4, 106.7°)

ejemplo polar 2

Ejemplo: Q = (5, −8)

Q está en el Cuadrante IV

El valor de la calculadora para tan-1(−1.6) es −58.0°

La regla para el Cuadrante IV es: Suma 360° al valor de la calculadora
θ = −58.0° + 360° = 302.0°

Entonces las coordenadas polares para el punto (5, −8) son (9.4, 302.0°)

 

Resumen

Para convertir de coordenadas polares (r, θ) a coordenadas cartesianas (x, y):

Para convertir de coordenadas cartesianas (x, y) a coordenadas polares (r, θ):

El valor de tan-1( y/x ) puede que requiera ser ajustado:

 

Actividad: Caminando en el desierto (2)

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10