Funciones Trigonométricas Inversas

Triángulo Rectángulo

En breve:

Para un triángulo rectángulo:

sen vs sen^(-1)

 

La función seno sin toma el ángulo θ y da la razón opuesto hipotenusa

La función inversa de seno sin-1 toma la razón opuestohipotenusa y da un ángulo θ

Y el coseno y la tangente siguen una idea similar.

Ejemplo (las longitudes están redondeadas a un decimal):

el triángulo 2.8, 4.0, 4.9 tiene un ángulo de 35 grados

sin(35°)= Opuesto / Hipotenusa
 = 2.8/4.9
 = 0.57...
sin-1(Opuesto / Hipotenusa)= sin-1(0.57...)
 = 35°

Y ahora los detalles:

Las funciones Seno, Coseno y Tangente están basadas en un triángulo rectángulo

Son funciones muy similares ... así que veremos la función seno y luego el seno inverso para aprender de qué se trata.

Función Seno

triángulo que muestra opuesto, adyacente e hipotenusa

El Seno de un ángulo θ es:

O de forma más simple:

sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa

Ejemplo: ¿Cuál es el seno de 35°?

el triángulo 2.8, 4.0, 4.9 tiene un ángulo de 35 grados

Usando este triángulo (las longitudes están redondeadas a un decimal):

sin(35°) = Opuesto / Hipotenusa
= 2.8/4.9
= 0.57...

La Función Seno puede ayudarnos a resolver cosas como esta:

ejemplo de barco trigonométrico 30m a 39 grados

Ejemplo: Usar la función seno para encontrar "d"

Conocemos:
  • El ángulo que forma el cable con el fondo marino es de 39°
  • La longitud del cable es de 30 m.
Y queremos saber "d" (la distancia hacia abajo).
Empezamos con:sin 39° = opuesto/hipotenusa
  sin 39° = d/30
Volteamos los lados:d/30 = sin 39°
Usamos una calculadora para evaluar sin 39°: d/30 = 0.6293…
Multiplicamos ambos lados por 30:d = 0.6293… x 30
 d = 18.88 a 2 decimales

La profundidad "d" es 18.88 m

Función Inversa de Seno

Pero a veces es el ángulo lo que necesitamos encontrar.

Aquí es donde entra el "seno inverso".

Responde a la pregunta "¿qué ángulo tiene el seno igual a opuesto/hipotenusa?"

El símbolo para la función inversa de seno es sin-1 (o sen-1), o también arcsin (o arcsen).

ejemplo de barco trigonométrico 30m y 18.88m

Ejemplo: Encontrar el ángulo "a"

Conocemos:

  • La profundidad es 18.88 m.
  • La longitud del cable es 30 m.

Y queremos hallar el ángulo "a"

 

Empezamos con:sin a° = opuesto/hipotenusa
  sin a° = 18.88/30
Calculamos 18.88/30:sin a° = 0.6293...

¿Qué ángulo tiene un seno igual a 0.6293 ...?
El seno inverso nos lo dirá.

Seno inverso:a° = sin−1(0.6293...)
Con una calculadora evaluamos sin−1(0.6293...):a° = 39.0° (a 1 decimal )

El ángulo "a" es 39.0°

Hacia Adelante y Hacia Atrás

sin vs sin^(-1)

Ejemplo:

Función seno:sin(30°) = 0.5          
Función inversa de seno:sin−1(0.5) = 30°

Calculadora

calculadora-sin-cos-tan En la calculadora, presiona una de las siguientes opciones (según tu marca de calculadora): '2ndF sin' o 'shift sin'.

En tu calculadora prueba a usar sin y luego sin-1 para ver qué ocurre.

¡Más de un Ángulo!

El seno inverso solo muestra un ángulo ... pero hay más ángulos que podrían funcionar.

Ejemplo: Aquí se muestran 2 ángulos tales que opuesto/hipotenusa = 0.5


triángulo a 30 y 150 grados

De hecho, hay infinitos ángulos, porque puedes seguir sumando (o restando) 360°:

seno cruza 0.5 a 30,150,390, etc.

¡Recuerda esto, porque hay momentos en los que realmente necesitas uno de los otros ángulos!

Resumen

Triángulo rectángulo

El seno de un ángulo θ es:

sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa

Y el seno inverso es:

sin-1 (Opuesto / Hipotenusa) = θ

 

¿Qué pasa con "cos" y "tan" ...?

Exactamente la misma idea, pero diferentes proporciones laterales.

Coseno

Triángulo rectángulo

El coseno de un ángulo θ es:

cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa

Y el coseno inverso es:

cos-1 (Adyacente / Hipotenusa) = θ

ejemplo de trigonometría: 8,100 y 6,750

Ejemplo: Encuentra la medida del ángulo a°

cos a° = Adyacente / Hipotenusa

cos a° = 6,750/8,100 = 0.8333...

a° = cos-1 (0.8333...) = 33.6° (a 1 decimal)

Tangente

Triángulo rectángulo

La tangente de un ángulo θ es:

tan(θ) = Opuesto / Adyacente

Así que la tangente inversa es:

tan-1 (Opuesto / Adyacente) = θ

ejemplo de trigonometría: 300 y 400

Ejemplo: Encuentra la medida del ángulo x°

tan x° = Opuesto / Adyacente

tan x° = 300/400 = 0.75

x° = tan-1 (0.75) = 36.9° (a 1 decimal)

 

Otros Nombres

A veces sin-1 se conoce como sen-1, asin/asen o arcsin/arcsen
Igualmente, cos-1 se conoce como acos o arccos
Y tan-1 se conoce como atan o arctan

Ejemplos:

  • arcsen(y) es lo mismo que sen-1(y)
  • atan(θ) es lo mismo que tan-1(θ)
  • etc.

Las Gráficas

Y por último, aquí están las gráficas de seno, seno inverso, coseno y coseno inverso:

gráfica de seno
Seno
gráfica de arcoseno
Seno Inverso
gráfica de coseno
Coseno
gráfica de arcocoseno
Coseno Inverso

¿Notaste algo sobre las gráficas?

Veamos el ejemplo de coseno.

Aquí está el coseno y el coseno inverso trazados en la misma gráfica:

gráfica de coseno reflejado
Coseno y Coseno Inverso

Son imágenes espejo (sobre la diagonal)

Pero, ¿por qué el coseno inverso se corta en la parte superior e inferior (las líneas punteadas no son realmente parte de la función) ...?

Porque para ser una función solo puede dar una respuesta
a la pregunta "¿Cuánto es cos-1(x)?"

Una respuesta o infinitas respuestas

Pero vimos anteriormente que hay infinitas respuestas, y la línea punteada en el gráfico lo muestra.

Entonces , hay infinitas respuestas ...

... pero imagina que escribes 0.5 en tu calculadora y presionas cos-1 y te da una lista infinita de posibles resultados  ...

Entonces usamos la regla de que una función solo puede dar una respuesta.

Entonces, al delimitarlo así obtenemos solo una respuesta, pero debemos recordar que podría haber otras respuestas.

Tangente y Tangente Inversa

Y aquí está la función tangente y la tangente inversa. ¿Puedes ver cómo tienen simetría (respecto a la diagonal) ...?

gráfica de tangente
Tangente
gráfica de arcotangente
Tangente Inversa

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).