La Ley de Senos

La Ley de Senos (o Regla de Senos) es muy útil para resolver triángulos:

a sin A = b sin B = c sin C

Funciona para cualquier triángulo:

triángulo

a, b y c son lados.

A, B y C son ángulos.

(El lado a está frente al ángulo A,
el lado b está frente al ángulo B y
el lado c está frente al ángulo C).

Y dice que:

Cuando dividimos el lado a por el seno del ángulo A
es igual al lado b dividido por el seno del ángulo B,
y también igual al lado c dividido por el seno del ángulo C

¿Será cierto todo eso?

Bueno, hagamos los cálculos para un triángulo que diseñé anteriormente:

5,8,9 triángulo

a sin A = 8 sin(62.2°) = 8 0.885... = 9.04...

b sin B = 5 sin(33.5°) = 5 0.552... = 9.06...

c sin C = 9 sin(84.3°) = 9 0.995... = 9.04...

¡Las respuestas son casi las mismas!
(Serían exactamente iguales si utilizáramos precisión perfecta).

Así que:

a sin A = b sin B = c sin C

¿Esto es magia?

triángulo a b c

En realidad no, mira este triángulo general e imagina que son dos triángulos en ángulo recto que comparten el lado h:

 

El seno de un ángulo es el opuesto dividido por la hipotenusa, entonces:

triángulo

sin(A) = h/b so symbol   b sin(A) = h
sin(B) = h/a so symbol   a sin(B) = h

a sin(B) y b sin(A) ambos son iguales a h, por lo que tenemos:

a sin(B) = b sin(A)

Que se puede reorganizar así:

a sin A = b sin B

Podemos seguir pasos similares para incluir c/sin (C)

¿Cómo se usa?

Veamos con un ejemplo.

Ejemplo: Hallar el lado "c"

triángulo 35 grados, 105 grados, 7

Ley de Senos:a/sin A = b/sin B = c/sin C
Pon los valores que conocemos:a/sin A = 7/sin(35°) = c/sin(105°)
Ignora a/sin A (no nos servirá):7/sin(35°) = c/sin(105°)

Ahora usa tus habilidades de álgebra para reorganizar y resolver:

Voltea los lados:c/sin(105°) = 7/sin(35°)
Multiplica ambos lados por sin(105°):c = ( 7 / sin(35°) ) × sin(105°)
Calcula:c = ( 7 / 0.574... ) × 0.966...
 c = 11.8 (a 1 decimal)

Encontrar un ángulo desconocido

En el ejemplo anterior encontramos un lado desconocido ...

... pero también podemos usar la Ley de Senos para encontrar un ángulo desconocido.

En este caso, es mejor invertir las fracciones (sin A/a en lugar de a/sin A, etc):

sin A a = sin B b = sin C c

Ejemplo: Hallar el ángulo B

triángulo 63 grados, 4.7, 5.5

Empieza con:sin A / a = sin B / b = sin C / c
Pon los valores que conocemos:sin A / a = sin B / 4.7 = sin(63°) / 5.5
Ignora "sin A / a":sin B / 4.7 = sin(63°) / 5.5
Multiplica ambos lados por 4.7:sin B = (sin(63°)/5.5) × 4.7
Calcula:sin B = 0.7614...
Seno Inverso:B = sin−1(0.7614...)
 B = 49.6°

¡A veces hay dos respuestas!

Hay un detalle engañoso que debemos tener en cuenta:

Dos posibles respuestas.

Caso Ambiguo de la Ley de Senos

Imagina que conocemos el ángulo A, y los lados a y b.

Podemos girar el lado a hacia la izquierda o la derecha y obtener dos resultados posibles (un triángulo pequeño y un triángulo mucho más ancho)

¡Ambas respuestas son correctas!
 

Esto solo ocurre en el caso "Dos Lados Y Un Ángulo Que No Está Entre Ellos", e incluso en ese caso no siempre ocurre, pero tenemos que estar atentos.

Solo piensa "¿podría mover ese lado hacia otra parte y también tener una respuesta correcta?"

 

Ejemplo: Hallar el ángulo R

triángulo 39 grados, 41, 28

Lo primero que debe notar es que este triángulo tiene diferentes etiquetas: PQR en lugar de ABC. Pero eso esta bien. Solo usamos P, Q y R en lugar de A, B y C en La Ley de Senos.

Empieza con:sin R / r = sin Q / q
Pon los valores que conocemos:sin R / 41 = sin(39°)/28
Multiplica ambos lados por 41:sin R = (sin(39°)/28) × 41
Calcula:sin R = 0.9215...
Seno Inverso:R = sin−1(0.9215...)
 R = 67.1°
¡Pero espera! Hay otro ángulo que también tiene un seno igual a 0.9215 ...

La calculadora no te dirá esto, pero sin (112.9°) también es igual a 0.9215 ...

Entonces, ¿cómo descubrimos el valor 112.9°?

Fácil ... mueve 67.1° de 180°, así:

180° − 67.1° = 112.9°

Entonces hay dos respuestas posibles para R: 67.1° y 112.9°:

ejemplo de la regla del seno trigonométrico con dos ángulos

¡Ambos son posibles! Cada uno tiene el ángulo de 39° y lados de 41 y 28.

Por lo tanto, siempre verifica si la respuesta alternativa tiene sentido.

ejemplo de la regla del seno trigonométrico con un ángulo Ya vimos este triángulo antes.

Como puedes ver, puedes intentar "columpiar" el lado "5.5", pero ninguna otra solución tiene sentido.

Entonces este solo tiene una solución.

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).