Resolver Triángulos LLA

"LLA" significa "Lado, Lado, Ángulo"

triángulo LLA

"LLA" es cuando conocemos dos lados y un ángulo que no es el ángulo entre los lados.

 

Para resolver un triángulo LLA

  • usa primero La Ley de Senos para calcular uno de los otros dos ángulos;
  • luego usa que los tres ángulos suman 180° para hallar el otro ángulo;
  • finalmente usa La Ley de Senos nuevamente para encontrar el lado desconocido.

 

Ejemplo 1

ejemplo triángulo LLA

En este triángulo conocemos:

  • ángulo B = 31°
  • b = 8
  • y c = 13

 

En este caso, podemos usar primero La Ley de Senos para hallar el ángulo C:

sin(C)/c = sin(B)/b
sin(C)/13 = sin(31°)/8
sin(C) = (13×sin(31°))/8
sin(C) = 0.8369...
C = sin−1(0.8369...)
C = 56.818...°
C = 56.8° a 1 decimal (*mira más abajo)

A continuación podemos usar que los tres ángulos suman 180° para hallar el ángulo A:

A = 180° − 31° − 56.818...°
A = 92.181...° = 92.2° a 1 decimal

Ahora podemos usar La Ley de los Senos nuevamente para encontrar:

a/sin(A) = b/sin(B)
a/sin(92.181...°) = 8/sin(31°)

Observa que no usamos A = 92.2°, ese ángulo se redondeó a 1 decimal. Es mucho mejor usar el número no redondeado 92.181 ...° que aún debería estar en nuestra calculadora desde el último cálculo.

a = (sin(92.181...°) × 8)/sin(31°)
a = 15.52 a 2 decimales

Entonces, hemos resuelto completamente el triángulo ...

... ¿o  falta algo?

*En el ejemplo, cuando calculamos:

C = sin−1(0.8369...)
C = 56.818...°

No consideramos que sin−1(0.8369...) podría tener dos respuestas (lee La Ley de Senos)

La otra posible respuesta para C es 180° − 56.818...°

Aquí puedes ver por qué tenemos dos posibles respuestas:

ejemplo triángulo LLA

Al girar el lado "8" hacia la izquierda y hacia la derecha podemos
unirlo con el lado "a" en dos ubicaciones posibles.

Así que volvamos y continuemos con nuestro ejemplo:

El otro ángulo posible es:

C = 180° − 56.818...°
C = 123.2° a 1 decimal
Con un nuevo valor para C tendremos nuevos valores para el ángulo A y el lado a

Usa que "los tres ángulos suman 180 °" para encontrar el ángulo A:

A = 180° − 31° − 123.181...°
A = 25.818...°
A = 25.8° a 1 decimal

Ahora podemos usar La Ley de los Senos nuevamente para encontrar:

a/sin(A) = b/sin(B)
a/sin(25.818...°) = 8/sin(31°)
a = (sin(25.818...°)×8)/sin(31°)
a = 6.76 a 2 decimales

 

Entonces los dos conjuntos de respuestas son:

C =  56.8°, A = 92.2°, a = 15.52

C = 123.2°, A = 25.8°, a = 6.76

 

Ejemplo 2

ejemplo triángulo LLA

Este también es un triángulo LLA.

En este triángulo conocemos el ángulo M = 125°, m = 12.4 y l = 7.6

Primeramente, usaremos la Ley de Senos para encontrar el ángulo L:

sin(L)/l = sin(M)/m
sin(L)/7.6 = sin(125°)/12.4
sin(L) = (7.6×sin(125°))/12.4
sin(L) = 0.5020...
L = 30.136...°
L = 30.1° a 1 decimal

Ahora usaremos que "los tres ángulos suman 180°" para encontrar el ángulo N:

N = 180° − 125° − 30.136...°
N = 24.863...°
N = 24.9° a 1 decimal

Y ahora podemos usar La Ley de los Senos nuevamente para encontrar:

n/sin(N) = m/sin(M)
n/sin(24.863...°) = 12.4/sin(125°)
n = (sin(24.863...°)×12.4)/sin(125°)
n = 6.36 a 2 decimales

 

ejemplo triángulo LLA

Nota que solo hay una respuesta en este caso. El lado que mide "12.4" solo une un lugar.

La otra respuesta posible para L es 149.9°. Pero eso es imposible porque ya tenemos M=125° y un triángulo no puede tener dos ángulos mayores que 90°.

Conclusión:

Al resolver un triángulo "Lado, Lado, Ángulo"
¡necesitamos comprobar si podría haber otra respuesta válida!

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).