Ley de Cosenos
Para cualquier triángulo:
a, b y c son los lados. C es el ángulo opuesto al lado c |
La Ley de los Cosenos (también llamada la Regla de los Cosenos) dice:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
Nos ayuda a resolver algunos triángulos. Veamos cómo usarla.
Ejemplo: ¿Cuánto mide el lado "c" ...?
Conocemos el ángulo C = 37º y los lados a = 8 y b = 11
Respuesta: c = 6.67
Cómo recordar
¿Cómo puedes recordar la fórmula?
Bueno, ayuda saber que es el Teorema de
Pitágoras con algo extra para que funcione para todos los
triángulos:
(solo para triángulos rectángulos)a2 + b2 = c2
(para todos los triángulos)a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2
Entonces, para recordarla:
- piensa "abc": a2 + b2 = c2,
- luego un 2do "abc": 2ab cos(C),
- y pon todo junto: a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2
Cuando usarla
La Ley de cosenos es útil para encontrar:- el tercer lado de un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo entre ellos (como en el ejemplo anterior)
- los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados (como en el siguiente ejemplo)
Ejemplo: ¿Cuánto mide el ángulo "C" ...?
El lado de longitud "8" es el ángulo opuesto C, por lo que es el lado c. Los otros dos lados son a y b.
Ahora pongamos lo que sabemos en La Ley de Cosenos:
Ahora usamos nuestras habilidades de álgebra para reorganizar y resolver:
En otras formas
Versión más fácil para ángulos
Acabamos de ver cómo encontrar un ángulo cuando conocemos tres lados. Tomó bastantes pasos, por lo que es más fácil usar la fórmula "directa" (que es solo una reorganización de la fórmula c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)). Puede estar en cualquiera de estas formas:
cos(C) = a2 + b2 − c2 2ab
cos(A) = b2 + c2 − a2 2bc
cos(B) = c2 + a2 − b2 2ca
Ejemplo: encontrar el ángulo "C" usando la ley de los cosenos (versión para ángulos)
En este triángulo conocemos los tres lados:
- a = 8,
- b = 6 y
- c = 7.
Usa la Ley de Cosenos (versión para ángulos) para encontrar el ángulo C :
Versiones para a, b y c
Además, podemos reescribir la fórmula c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) para tener a2= y b2=.
Aquí están las tres:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
¡Pero es más fácil recordar la forma "c2 =" y cambiar las letras según sea necesario!Como en este ejemplo:
Ejemplo: Encuentra la distancia "z"
¡Las letras son diferentes! Pero eso no importa. Podemos sustituir fácilmente x por a, y por b y z por c
Respuesta: z = 14.5
¿Notaste que cos(131º) es negativo y esto cambia el último signo del cálculo a + (positivo)? El coseno de un ángulo obtuso siempre es negativo (ver Círculo Unitario).
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).