Circunferencia Unitaria

Circunferencia Unitaria en (0,0)

 

La "circunferencia unidad" es simplemente una circunferencia de radio 1.

Como es tan simple, es perfecta para aprender a hablar de longitudes y ángulos.

El centro se pone donde se cruzan el eje x y el eje y, así que nos queda este dibujo tan sencillo.

 


Circunferencia Unitaria en (0,0)

Seno, coseno y tangente

Como el radio es 1, puedes medir directamente el seno, el coseno y la tangente.

Circunferencia Unitaria, ángulo 0

¿Qué pasa cuando el ángulo θ es 0°?

cos 0° = 1, sin 0° = 0 y tan 0° = 0

circunferencia unitaria, ángulo 90

¿Qué pasa cuando θ es 90°?

cos 90° = 0, sin 90° = 1 y tan 90° no está definida

¡Prueba tú!

¡Inténtalo tú ahora! Arrastra la esquina alrededor de la circunferencia para ver los distintos ángulos (en radianes o grados) y cómo cambian el seno, coseno y tangente.

Fíjate en que los "lados" pueden ser positivos o negativos según las reglas de las coordenadas cartesianas. Esto hace que el seno, coseno y tangente también vayan alternando entre positivo y negativo.

 

También prueba la Circunferencia Unitaria Interactiva.

 

pitágoras, circunferencia unitaria con centro en (0,0)

Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados:

x2 + y2 = 12

Pero 12 es 1, así que:

x2 + y2 = 1

(la ecuación de la circunferencia unidad)

Además, como x=cos e y=sin, tenemos:

(cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1

una "identidad" bastante útil

Ángulos relevantes: 30°, 45° y 60°

Debes intentar recordar sin, cos y tan para los ángulos de 30°, 45° y 60°.

Sí, sí, es un fastidio tener que recordar cosas, pero te hará la vida más fácil cuando los reconozcas, no solo en los exámenes, sino en otras ocasiones en las que necesites hacer estimaciones rápidas, etc.

¡Estos son los valores que debes recordar!

Ángulo Sin Cos Tan=Sin/Cos
30° 1/2 raiz 3/2 1 √3 = √3 3
45° raiz 2/2 raiz 2/2 1
60° raiz 3/2 1/2 √3

Ayudándote a recordar

circunferencia unitaria 1,2,3

Para que te sea fácil recordar, el seno va "1,2,3" :

 sin(30°)  =  12  =  12  (porque √1 = 1)

 sin(45°)  =  22

 sin(60°)  =  32

 

Y el coseno va "3,2,1"

 cos(30°)  =  32

 cos(45°)  =  22

 cos(60°)  =  12  =  12

 

Solo 3 números

De hecho, saber 3 números es suficiente: 12 ,  √22  y  √32

Porque funcionan para cos y sin:

círculo unitario cos 1/2, raíz 2/2, raíz 3/2   círculo unitario seno raiz 3/2, raiz 2/2, 1/2

¿Qué hay de la tangente?

Bueno, tan = sin/cos, para que podamos calcularla así:

tan(30°) =sin(30°)cos(30°) = 1/2√3/2 = 1√3 = √33 *

tan(45°) =sin(45°)cos(45°) = √2/2√2/2 =

tan(60°) =sin(60°)cos(60°) = √3/21/2 = √3 

*Nota: en la escuela podría costarte algún punto escribir así 1√3 (lee Denominadores Racionales), por lo que podría ser mejor utilizar √33

Dibujo rápido

Otra forma de ayudarte a recordar los valores para 30° y 60° es hacer un boceto rápido:

Dibuja un triángulo equilátero de lado 2 unidades   triángulo cuyos lados miden 2

Corta a la mitad. Por Pitágoras, el nuevo lado mide √3

12 + (√3)2 = 22
1 + 3 = 4
  triángulo cuyos lados miden 1, 2, raiz 3
Luego usa sohcahtoa para sin, cos o tan   triángulo cuyos lados miden 1, 2, raiz 3

Ejemplo: sin(30°)

Seno: sohcahtoa

seno es opuesto dividido entre hipotenusa
sin(30°) = opuesto hipotenusa = 1 2

 

cuadrantes (+,+) (-,+) (-,-) y (+,-) en sentido antihorario

Todo el círculo

Para todo el círculo necesitamos valores en cada cuadrante, con el correspondiente signo más o menos según las Coordenadas Cartesianas:

 

Observa que primero va cos y luego sin, por lo que queda (cos, sin):

Circunferencia Unitaria

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Ejemplo: ¿Cuánto vale cos(330°) ?

circunferencia unitaria 330

 

Al hacer un boceto como este, podemos ver que es el valor "largo":√32

Y esta es la misma Circunferencia Unitaria en radianes.

Circunferencia Unitaria: Radianes

Ejemplo: ¿Cuánto vale sin(7π/6) ?

circunferencia unitaria 7pi/6

 

Primero piensa: "7π/6 = π + π/6", luego haz un boceto.

Entonces podemos ver que es negativo y que es el valor "corto": −½

  ¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

 

Nota: ¿de dónde salen todos estos valores?

Podemos usar la ecuación x2 + y2 = 1 para encontrar las longitudes de x y y (que son iguales a cos y sin cuando el radio es 1):

triángulo 45 dentro del círculo unitario

45 Grados

Para 45 grados, x y y son iguales, por lo tanto y=x:

x2 + x2 = 1
2x2 = 1
x2 = ½
x = y = √(½)

triángulo 30 60 dentro del círculo unitario

60 Grados

Considera un triángulo equilátero (todos los lados son iguales y todos los ángulos miden 60°) y divídelo por la mitad.

El lado "x" ahora mide ½,

Y el lado "y" mide:

(½)2 + y2 = 1
¼ + y2 = 1
y2 = 1-¼ = ¾
y = √(¾)

30 Grados

30° es simplemente igual que 60° con x y y intercambiados, por lo que x = √(¾) y y = ½

Y:

√(½) es lo mismo que:   simplificar raiz (1/2) = raiz (2/4) = raiz (2)/sqrt (4) = raiz (2)/2
Y √(¾) es igual a:   simplificar raiz (3/4) = raiz (3)/raiz (4) = raiz (3)/2

Y aquí está el resultado (igual que antes):

Ángulo Sin Cos Tan=Sin/Cos
30° 1/2 root3/2 1 √3 = √3 3
45° root2/2 root2/2 1
60° root3/2 1/2 √3