Seno, Coseno y Tangente en los 4 Cuadrantes
Seno, Coseno y Tangente
Las tres funciones principales en trigonometría son Seno, Coseno y Tangente.
Son fáciles de calcular:
Divide la longitud de un lado de un
triángulo rectángulo entre otro lado
... ¡Pero debemos saber de qué lados!
Para un ángulo θ, las funciones se calculan de esta manera:
Función Seno:
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sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa |
Función Coseno:
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cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa |
Función Tangente:
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tan(θ) = Opuesto / Adyacente |
Ejemplo: ¿Cuál es el seno de 35°?
Usando este triángulo (las longitudes con solo un decimal): sin(35°) = Opuesto / Hipotenusa = 2.8/4.9 = 0.57... |
Coordenadas Cartesianas
Usando Coordenadas Cartesianas marcamos un punto en una gráfica por lo lejos y lo alto que está:
El punto (12,5) está 12 unidades a lo largo y 5 unidades arriba.
Cuatro Cuadrantes
Cuando incluimos valores negativos, los ejes x y y dividen el espacio en 4 partes:
Cuadrantes I, II, III y IV
(Están numerados en sentido antihorario)
- En el Cuadrante I tanto x como y son positivas,
- en el Cuadrante II x es negativa (y sigue siendo positiva),
- en el Cuadrante III tando x como y son negativas, y
- en el Cuadrante IV x es nuevamente positiva, y y es negativa.
Así:
Cuadrante | X (horizontal) |
Y (vertical) |
Ejemplo |
---|---|---|---|
I | Positiva | Positiva | (3,2) |
II | Negativa | Positiva | |
III | Negativa | Negativa | (−2,−1) |
IV | Positiva | Negativa |
Tanto x como y son negativas, por lo que ese punto está en el "Cuadrante III"
Seno, Coseno y Tangente en los 4 Cuadrantes
Ahora veamos qué sucede cuando colocamos un triángulo de 30° en cada uno de los 4 Cuadrantes.
En el Cuadrante I todo es normal y Seno, Coseno y Tangente son todas positivas:
Ejemplo: El seno, coseno y tangente de 30°.
Seno
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sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
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Coseno
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cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866
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Tangente
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tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577
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Pero en el Cuadrante II, la dirección de x es negativa, y tanto el coseno como la tangente se vuelven negativos:
Ejemplo: Seno, coseno y tangente de 150°
Seno
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sin(150°) = 1 /
2 = 0.5
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Coseno
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cos(150°) = −1.732 / 2 = −0.866
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Tangente
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tan(150°) = 1 /
−1.732 = −0.577
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En el Cuadrante III, seno y coseno son negativos:
Ejemplo: Seno, coseno y tangente de 210 °
Seno
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sin(210°) = −1 / 2 = −0.5
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Coseno
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cos(210°) = −1.732 / 2 = −0.866
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Tangente
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tan(210°) = −1 / −1.732 = 0.577
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Nota: La tangente es positiva porque dividir negativo por negativo da un positivo.
En el Cuadrante IV, seno y tangente son negativos:
Ejemplo: Seno, coseno y tangente de 330°
Seno
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sin(330°) = −1 / 2 = −0.5
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Coseno
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cos(330°) =
1.732 / 2 = 0.866
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Tangente
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tan(330°) = −1 / 1.732 = −0.577
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¡Hay un patrón! Mira cuando Seno Coseno y Tangente son positivas ...
- Todas son positivas en el Cuadrante I
- Seno es la única función positiva en el Cuadrante II
- Tangente es la única función positiva en el Cuadrante III
- Coseno es la única función positiva en el Cuadrante IV
Esto se puede mostrar aún más fácilmente mediante esta imagen:
Dos valores
Echa un vistazo a este gráfico de la función Seno:
¡Hay dos ángulos (dentro de los primeros 360°) que
tienen el mismo valor!
El problema es: tu calculadora solo te dará uno de esos valores ...
Primer valor | Segundo valor | |
Seno | θ | 180º − θ |
Coseno | θ | 360º − θ |
Tangente | θ | θ − 180º |
Y si algún ángulo es menor a 0º, entonces suma 360º.
Ahora podemos resolver ecuaciones para ángulos entre 0º y 360º (usando Seno, Coseno y Tangente Inversas)
Ejemplo: Resuelve sin θ = 0.5
Obtenemos la primera solución de la calculadora = sin−1 (0.5) = 30º (está en el Cuadrante I)La otra solución es 180º − 30º = 150º (Cuadrante II)
Ejemplo: Resuelve tan θ = −1.3
Obtenemos la primera solución de la calculadora = tan−1 (−1.3) = −52.4ºEsto es menor que 0º, entonces sumamos 360º: −52.4º + 360º = 307.6º (Cuadrante IV)
La otra solución es 307.6º − 180º = 127.6º (Cuadrante II)
Ejemplo: Resuelve cos θ = −0.85
Obtenemos la primera solución de la calculadora = cos−1 (−0.85) = 148.2º (Cuadrante II)La otra solución es 360º − 148.2º = 211.8º (Cuadrante III)
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).