Ecuaciones Cuadráticas
Un ejemplo de una Ecuación Cuadrática:
Las Ecuaciones Cuadráticas hacen curvas bonitas, como ésta:
Name
La palabra cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un NOTAcuadrado (en otras palabras x2).
También se les llama "Ecuaciones de Segundo NOTAGrado" (debido al "2" sobre la x).
Forma estándar
La Forma estándar de una Ecuación Cuadrática se ve parecida a esto:
- a, b y c son valores conocidos. a no puede ser 0.
- "x" es la variable o incógnita (todavía no sabemos su valor).
Aquí unos ejemplos:
2x2 + 5x + 3 = 0 | En ésta a=2, b=5 y c=3 | |
x2 − 3x = 0 | Ésta es un poquito especial:
|
|
5x − 3 = 0 | ¡Ups! Ésta no es una ecuación
cuadrática: le falta x2 (en otras palabras, si a=0, entonces la ecuación no es cuadrática) |
¡Juega!
Juega con el "Graficador de Ecuaciones Cuadráticas" para que puedas ver:
- la gráfica que se forma, y
- las soluciones (llamadas "raíces").
¡Ecuaciones Cuadráticas Disfrazadas!
Como vimos antes, la Forma Estándar de una Ecuación Cuadrática es
ax2 + bx + c = 0
¡Pero a veces una ecuación cuadrática se ve diferente!
Por ejemplo:
Cuadrática Disfrazada | En Forma Estándar | a, b y c | |
---|---|---|---|
x2 = 3x − 1 | Mueve todos los términos a la izquierda | x2 − 3x + 1 = 0 | a=1, b=−3, c=1 |
2(w2 − 2w) = 5 | Desarrolla (quita los paréntesis),
y mueve el 5 a la izquierda |
2w2 − 4w − 5 = 0 | a=2, b=−4, c=−5 |
z(z−1) = 3 | Desarrolla y mueve el 3 a la izquierda | z2 − z − 3 = 0 | a=1, b=−1, c=−3 |
¿Cómo encontramos la solución?
Las "soluciones" de una Ecuación Cuadrática son los valores donde la ecuación es igual a cero.
También se les llama "raíces", o incluso "ceros".
Normalmente hay 2 soluciones (como se muestra en la gráfica).
Y hay diferentes métodos para encontrar las soluciones:
Tan solo pon los valores de a, b y c, y haz las operaciones.
Veremos este método con mayor detalle a continuación.
Acerca de la Fórmula Cuadrática
Más/Menos
Primero que nada, ¿qué es ese símbolo de más/menos que se ve así ± ?
El signo ± significa que hay DOS respuestas:
x = −b + √(b2 − 4ac) 2a
x = −b − √(b2 − 4ac) 2a
Aquí hay un ejemplo con dos respuestas:
¡Pero no siempre se ve así!
- Imagina si la curva "solo toca" el eje-x.
- ¡O imagina que la curva está tan arriba que ni siquiera cruza al eje-x!
Es aquí cuando el "Discriminante" nos ayuda ...
Discriminante
¿Ves la parte donde dice b2 − 4ac en la fórmula de arriba? Se llama Discriminante, porque puede "discriminar" entre los posibles tipos de respuesta:
¿Soluciones complejas? Hablaremos de ellas después de que aprendamos a usar la fórmula.
El uso de la Fórmula Cuadrática
Para resolverla, solo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.
Ejemplo: Resuelve 5x2 + 6x + 1 = 0
Respuesta: x = −0.2 o x = −1
Las podemos ver en esta gráfica
Comprobación -0.2: | 5×(−0.2)2 + 6×(−0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(−0.2) + 1 = 0.2 − 1.2 + 1 = 0 |
|
Comprobación -1: | 5×(−1)2 + 6×(−1) + 1 = 5×(1) + 6×(−1) + 1 = 5 − 6 + 1 = 0 |
¿Soluciones Complejas?
Cuando el discriminante (el valor de b2 − 4ac) es negativo obtenemos un par de respuestas Complejas ... ¿Qué significa eso?
Significa que nuestra respuesta incluye Números Imaginarios. ¡Wow!
Ejemplo: Resuelve 5x2 + 2x + 1 = 0
= −16
√(−16) = 4i
(donde i es el número imaginario √−1)
Respuesta: x = −0.2 ± 0.4i
La curva no cruza al eje-x. Ésa es la razón por la que vemos números complejos en la respuesta.
De cierta forma es un poco más fácil: ya no necesitamos hacer más operaciones, solo dejamos la respuesta como −0.2 ± 0.4i.
Ejemplo: Resuelve x2 − 4x + 6.25 = 0
= −9
√(−9) = 3i
(donde i es el número imaginario √−1)
Respuesta: x = 2 ± 1.5i
La curva no cruza al eje-x. Ésa es la razón por la que vemos números complejos en la respuesta.
PERO una imagen espejo arriba/abajo de nuestra ecuación sí que cruza el eje-x en 2 ± 1.5 (nota: no hay i).
¡Un dato interesante para ti!
Resumen
- Ecuación Cuadrática en Forma Estándar: ax2 + bx + c = 0
- Las ecuaciones cuadráticas pueden ser factorizadas
- Fórmula Cuadrática: x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a
- Cuando el Discriminante (b2−4ac) es:
- positivo, hay 2 soluciones reales
- cero, hay 1 solución real
- negativo, hay 2 soluciones complejas
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).