Ejemplos en el Mundo Real de Ecuaciones Cuadráticas
Una Ecuación Cuadrática se ve así:
Las Ecuaciones Cuadráticas
aparecen en muchas situaciones del mundo real!
Aquí hemos recopilado algunos ejemplos para ti, y resolvemos cada uno
usando diferentes métodos:
- Ecuaciones Cuadráticas
- Factorizando Cuadráticas
- Completar el Cuadrado
- Explorando Ecuaciones Cuadráticas
- Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas
- Toma la descripción del mundo real y elabora algunas ecuaciones.
- ¡Resuelve!
- Usa tu sentido común para interpretar los resultados
Pelotas, Flechas, Misiles y Piedras
Cuando lanzas una pelota (o disparas una flecha, disparas un misil o lanzas una piedra), se eleva en el aire, disminuyendo la rapidez a medida que sube, y luego desciende cada vez más rápido ...
... !Y una Ecuación Cuadrática te dice su posición en todo momento!
Ejemplo: lanzar una pelota
Se lanza una pelota hacia arriba, desde 3m sobre el suelo, con una velocidad de 14 m/s. ¿Cuándo toca el suelo?
Ignorando la resistencia del aire, podemos calcular su altura sumando
estas tres cosas:
(Nota: t es el tiempo en segundos)
La altura comienza a 3m: | 3 | |
Viaja hacia arriba a 14 metros por segundo (14 m/s): | 14t | |
La gravedad lo empuja hacia abajo, cambiando su posición aproximadamente 5m por segundo al cuadrado: | −5t2 | |
(Nota para los lectores ávidos: el -5t2 surge de simplificar -(½)at2 con a=9.8 m/s2) |
Súmalos y se tiene que la altura h en cualquier momento t es:
h = 3 + 14t − 5t2
Y la pelota golpeará el suelo cuando la altura sea cero:
3 + 14t − 5t2 = 0
¡Y esto es una Ecuación Cuadrática!
En "Forma Estándar" se ve así:
−5t2 + 14t + 3 = 0
Se ve aún mejor cuando multiplicamos todos los términos por −1:
5t2 − 14t − 3 = 0
Vamos a resolverla...
Hay muchas maneras de resolverla, aquí la factorizaremos usando el método "Encuentra dos números que se multiplican para dar a×c, y que sumados dan b" que se explica en Factorizando Cuadráticas:
a×c = −15, y b = −14.
Los factores de −15 son: −15, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 15
Al probar algunas combinaciones, encontramos que −15 y 1 funcionan (−15×1 = −15, y −15+1 = −14)
Entonces "t = 3" es la respuesta que queremos:
¡La pelota toca el suelo después de 3 segundos!
Aquí está la gráfica de la Parábola h = −5t2 + 14t + 3
Te muestra la altura de la pelota frente al tiempo.Algunos puntos interesantes:
(0,3) Cuando t = 0 (al inicio) la pelota está a 3 m
(−0.2,0) dice que −0.2 segundos ANTES de tirar la pelota estaba a nivel del suelo. ¡Esto nunca sucedió! Entonces nuestro sentido común dice ignorarlo.
(3,0) dice que a los 3 segundos la pelota
está al nivel del suelo.
Observa también que la pelota alcanza casi 13 metros de altura.
Nota: ¡Puedes encontrar exactamente dónde está el punto superior!
El método se explica en Graficando
Ecuaciones Cuadráticas, y tiene dos pasos:
Encuentra dónde (a lo largo del eje horizontal) se produce el punto
superior usando −b/2a:
- t = −b/2a = −(−14)/(2 × 5) = 14/10 = 1.4 segundos
Luego encuentra la altura usando ese valor (1.4)
- h = −5t2 + 14t + 3 = −5(1.4)2 + 14 × 1.4 + 3 = 12.8 metros
Entonces la pelota alcanza el punto más alto de 12.8 metros después de 1.4 segundos.
Ejemplo: nueva bicicleta deportiva¡Has diseñado un nuevo estilo de bicicleta deportiva!Ahora deseas hacer muchas de ellas y venderlas con fines de lucro. |
Tus costos serán:
- $700,000 para costes de la instalación, publicidad, etc.
- $110 para hacer cada bicicleta
Basado en bicicletas similares, puedes esperar que las ventas sigan esta "curva de demanda":
- Unidades vendidas = 70,000 − 200P
Por ejemplo, si estableces el precio:
- a $ 0, simplemente regalas 70,000 bicicletas
- a $ 350, no venderás ninguna bicicleta
- a $ 300 puedes vender 70,000 - 200 × 300 = 10,000 bicicletas
¡Hagamos algunas ecuaciones!
La cantidad que vendas depende del precio, así que usa "P" para el precio como variable
- Unidades vendidas = 70,000 − 200P
- Ventas en dólares = Unidades × Precio = (70,000 − 200P) × P = 70,000P − 200P2
- Costos = 700,000 + 110 × (70,000 − 200P) = 700,000 + 7,700,000 − 22,000P = 8,400,000 − 22,000P
- Ganancia = Ventas − Costos = 70,000P - 200P2 − (8,400,000 − 22,000P) = −200P2 + 92,000P − 8,400,000
Ganancia = −200P2 + 92,000P − 8,400,000
Sí, una ecuación cuadrática. Vamos a resolverla Completando el Cuadrado.
Resolver: −200P2 + 92,000P − 8,400,000 = 0
Paso 1 Divide los términos entre -200
Paso 2 Mueve el término constante al lado derecho de la ecuación:
Paso 3 Completa el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación y equilibra esto sumando el mismo número al lado derecho de la ecuación:
(b/2)2 = (−460/2)2 = (−230)2 = 52900
Paso 4 Aplica la raíz cuadrada en ambos lados:
Paso 5 Resta (-230) de ambos lados (en otras palabras, suma 230):
Pero queremos saber el máximo beneficio, ¿no?
¡Está exactamente a mitad de camino! A $230
Y aquí está la gráfica:
Ganancia = −200P2 + 92,000P − 8,400,000
El mejor precio de venta es de $ 230, y puedes esperar:
- Unidades vendidas = 70,000 − 200 x 230 = 24,000
- Ventas en dólares = $230 x 24,000 = $5,520,000
- Costos = 700,000 + $110 x 24,000 = $3,340,000
- Ganancia = $5,520,000 − $3,340,000 = $2,180,000
Una empresa muy rentable.
Ejemplo: marco de acero pequeño
Tu empresa va a hacer marcos como parte de un nuevo producto que están lanzando.El marco se cortará de una pieza de acero, y para mantener el peso bajo, el área final debe ser 28 cm2
El interior del marco tiene que ser de 11 cm por 6 cm
¿Cuál debería ser el ancho x del metal?Área de acero antes del corte:
Área de acero después de cortar el centro de 11 × 6:
¡Vamos a resolverlo gráficamente!
Aquí está la gráfica de 4x2 + 34x :
El área deseada de 28 se muestra como una línea horizontal.El área es igual 28 cm2 cuando:
x es aproximadamente −9.3 o 0.8
El valor negativo de x no tiene sentido, por lo que la respuesta es:
x = 0.8 cm (aprox.)
Ejemplo: un crucero por el río
Ejemplo: Un crucero por el río de 3 horas recorre 15 km río arriba y luego de regreso. El río tiene una corriente de 2 km por hora. ¿Cuál es la rapidez del barco y cuánto duró el viaje aguas arriba?
Hay dos rapideces para considerar: la rapidez que tiene el barco en el agua y la rapidez relativa a la tierra:
- Sea x = la rapidez del barco en el agua (km/h)
- Sea v = la rapidez relativa a la tierra (km/h)
Porque el río fluye río abajo a 2 km/h:
- cuando el barco va río arriba, v = x−2 (su rapidez se reduce 2 km/h)
- cuando el barco va río abajo, v = x+2 (su rapidez aumenta 2 km/h)
Podemos convertir esas rapideces en tiempos usando:
tiempo = distancia / rapidez
(moviéndose 8 km a 4 km/h toma 8/4 = 2 horas, ¿cierto?)
Y sabemos que el tiempo total es de 3 horas:
tiempo total = tiempo río arriba + tiempo río abajo = 3 horas
Pon todo eso junto:
tiempo total = 15/(x−2) + 15/(x+2) = 3 horas
Ahora usamos nuestras habilidades de álgebra para hallar "x".Primero, deshazte de las fracciones multiplicando por (x−2)(x+2):
3(x−2)(x+2) = 15(x+2) + 15(x-2)
Desarrolla todo:
3(x2−4)= 15x+30 + 15x-30
Trae todo a la izquierda y simplifica:
3x2 - 30x -12 = 0
¡Es una ecuación cuadrática! Vamos a resolverla usando la Fórmula Cuadrática:
Donde a, b y c son de la
Ecuación Cuadrática en "Forma Estándar": ax2 + bx + c = 0
Resolver 3x2 - 30x - 12 = 0
Respuesta: x = −0.39 o 10.39 (a 2 decimales)
x = −0.39 no tiene sentido para esta pregunta del mundo real, ¡pero x = 10.39 es simplemente perfecta!
Respuesta: Rapidez del bote = 10.39 km/h (a 2 decimales)
Y el viaje aguas abajo = 15 / (10.39+2) = 1.21 horas = 1 hora 13min
Ejemplo: resistencias en paralelo
Dos resistencias están en paralelo, como en este diagrama:
La resistencia total se ha medido a 2 Ohms, y se sabe que una de las resistencias es 3 Ohms más que la otra.¿Cuáles son los valores de las dos resistencias?
La fórmula para resolver la resistencia total "RT" es:
1RT = 1R1 + 1R2
En este caso, se tiene RT = 2 y R2 = R1 + 3
1 2 = 1 R1 + 1 R1+3
Para deshacernos de las fracciones, podemos multiplicar todos los términos por 2R1(R1 + 3) y luego simplificar:
¡Sí! ¡Una ecuación cuadrática!
Resolvámosla usando nuestro Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas.
- Pon 1, −1 y −6
- Y deberías obtener las respuestas −2 y 3
R1 no puede ser negativa, así que R1 = 3 Ohms es la respuesta.
Las dos resistencias son de 3 ohms y 6 ohms.
Otros
Las ecuaciones cuadráticas son útiles en muchas otras áreas:
Para un espejo parabólico, un telescopio reflector o una antena parabólica, la forma se define mediante una ecuación cuadrática.Las ecuaciones cuadráticas también son necesarias cuando se estudian lentes y espejos curvos.
Y muchas preguntas que involucran tiempo, distancia y velocidad necesitan ecuaciones cuadráticas.