Factorizando Cuadráticas

Una Ecuación Cuadrática en Forma Estándar
(a, b, y c puede tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

Factorizar una cuadrática te dice:

encuentra qué multiplicar para obtener la cuadrática

Se llama "Factorizar" porque encontramos los factores (un factor es algo por lo que multiplicamos)

Ejemplo:

Multiplicar (x+4) y (x−1) juntos (es decir, Desarrollar) nos da x² + 3x − 4 :

De modo que (x+4) y (x−1) son facotres de x² + 3x − 4

Solo para estar seguros, verifiquemos:

(x+4)(x−1) = x(x−1) + 4(x−1)

= x² − x + 4x − 4

= x² + 3x − 4

Sí, (x+4) y (x−1) son definitivamente factores de x² + 3x − 4

¿Viste que Desarrollar y Factorizar son opuestos?

Desarrollar suele ser fácil, pero factorizar a menudo puede ser difícil.

factorizar pastel
Es como tratar de encontrar qué ingredientes
entraron en un pastel para hacerlo tan delicioso.
¡Puede ser difícil de descifrar!

Probemos un ejemplo en el que aún no conocemos los factores:

Factor Común

Primero verifica si hay factores comunes.

Ejemplo: ¿cuáles son los factores de 6x² − 2x = 0 ?

6 y 2 tienen al 2 como factor común:

2(3x² − x) = 0

Y x² y x tienen a x como factor común:

2x(3x − 1) = 0

¡Y lo tenemos hecho! Los factores son 2x y 3x − 1,

Ahora también podemos encontrar las raíces (donde es igual a cero):

2x es 0 cuando x = 0
3x − 1 es cero cuando x = 13

Y ésta es la gráfica (observa cómo es cero en x=0 y x=13):

gráfica de 6x^2 - 2x

Pero no siempre es tan fácil ...

Adivina y Comprueba

¿Tal vez podamos adivinar una respuesta?

Ejemplo: ¿cuáles son los factores de 2x² + 7x + 3 ?

No hay factores comunes.

Tratemos de adivinar una respuesta y luego verifiquemos si estamos en lo cierto ... ¡podríamos tener suerte!

Podríamos adivinar (2x+3)(x+1):

(2x+3)(x+1) = 2x² + 2x + 3x + 3
= 2x² + 5x + 3 (INCORRECTO)

Probemos con (2x+7)(x−1):

(2x+7)(x−1) = 2x² − 2x + 7x − 7
= 2x² + 5x − 7 (INCORRECTO OTRA VEZ)

Vamos ahora con (2x+9)(x−1):

(2x+9)(x−1) = 2x² − 2x + 9x − 9
= 2x² + 7x − 9 (INCORRECTO OTRA VEZ)

¡Oh No! Podríamos estar adivinando durante mucho tiempo antes de tener suerte.

Ése no es un muy buen método. Así que intentemos algo más.

Un método para casos simples

Afortunadamente, hay un método que funciona en casos simples.

Con la ecuación cuadrática en esta forma:

Ecuación Cuadrática

Paso 1: Encuentra dos números que se multiplican para dar ac (en otras palabras a veces c), y sumar para dar b.

Ejemplo: 2x² + 7x + 3

ac es 2×3 = 6 y b es 7

Entonces, queremos dos números que se multipliquen para formar 6, y sumen 7

De hecho, 6 y 1 hacen eso (6×1=6, y 6+1=7)

¿Cómo encontramos 6 y 1?

Ayuda enumerar los factores de ac=6, y luego intena sumarlos para obtener b=7.

Los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.

¡Aha! 1 y 6 suman 7, y 6×1=6.

Paso 2: Reescribe lo del medio con esos números:

Reescribe 7x con 6x y 1x:

2x² + 6x + x + 3

Paso 3: Factoriza los dos primeros y los últimos dos términos por separado:

Los dos primeros términos 2x² + 6x se factorizan en 2x(x+3)

Los dos últimos términos x+3 en realidad no cambian en este caso.

Así que obtenemos:

2x(x+3) + (x+3)

Paso 4: Si lo hemos hecho correctamente, nuestros dos nuevos términos deberían tener un factor común claramente visible.

En este caso podemos ver que (x+3) iEs común a ambos términos, por lo que podemos hacer esto:

Comienza por:2x(x+3) + (x+3)

lo cual es lo mismo que:2x(x+3) + 1(x+3)

y finalmente:(2x+1)(x+3)

¡Listo!

Comprobación: (2x+1)(x+3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3 (Sí)

¡Mucho mejor que adivinar!

Veamos nuevamente los pasos 1 al 4 en resumen:

2x² + 7x + 3

2x² + 6x + x + 3

2x(x+3) + (x+3)

2x(x+3) + 1(x+3)

(2x+1)(x+3)

OK, intentemos con otro ejemplo:

Ejemplo: 6x² + 5x − 6

Paso 1: ac es 6×(−6) = −36, y b es 5

Enumera los factores positivos de ac = −36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Uno de los números tiene que ser negativo para hacer −36, así que al jugar con algunos números diferentes, se encuentra que −4 y 9 funcionan bien:

−4×9 = −36 y −4+9 = 5

Paso 2: Reescribe 5x como −4x y 9x:

6x² − 4x + 9x − 6

Paso 3: Factoriza los primeros dos y los últimos dos:

2x(3x − 2) + 3(3x − 2)

Paso 4: El factor es (3x − 2):

(2x+3)(3x − 2)

Comprobación: (2x+3)(3x − 2) = 6x² − 4x + 9x − 6 = 6x² + 5x − 6 (Sí)

Encontrar esos números

La parte más difícil es encontrar dos números que se multiplican para dar ac, y que sumados dan b.

Es en parte adivinar, pero ayuda hacer una lista de todos los factores.

Aquí hay otro ejemplo para ayudarte:

Ejemplo: ac = −120 y b = 7

¿Cuáles dos números multiplicados dan −120 y sumados dan 7?

Los factores de 120 son (positivos y negativos):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, y 120

Podemos probar pares de factores (¡comienza cerca del medio!) y ver si suman 7:

−10 x 12 = −120, y −10+12 = 2 (no)
−8 x 15 = −120 y −8+15 = 7 (¡SÍ!)

Practicar

Puedes practicar factorizando ecuaciones cuadráticas simples.

¿Por qué factorizar?

Bueno, uno de los grandes beneficios de la factorización es que podemos encontrar las raíces de la ecuación cuadrática (donde la ecuación es cero).

Todo lo que necesitamos hacer (después de factorizar) es encontrar dónde cada uno de los dos factores se convierte en cero

Ejemplo: ¿cuáles son las raíces (ceros) de 6x² + 5x − 6 ?

Ya sabemos (desde arriba) que los factores son

(2x + 3)(3x − 2)

Y podemos descubrir que

(2x + 3) es cero cuando x = −3/2

(3x − 2) es cero cuando x = 2/3

Así que las raíces de 6x² + 5x − 6 son :

−3/2 y 2/3

Aquí está la gráfica de 6x² + 5x − 6, ¿puedes ver dónde es igual a cero?

ejemplo factorizando una cuadrática

Y también podemos verificarlo usando un poco de aritmética:

En x = -3/2: 6(-3/2)² + 5(-3/2) - 6 = 6×(9/4) - 15/2 - 6 = 54/4 - 15/2 - 6 = 6-6 = 0

En x = 2/3: 6(2/3)² + 5(2/3) - 6 = 6×(4/9) + 10/3 - 6 = 24/9 + 10/3 - 6 = 6-6 = 0

Graficar

También podemos intentar graficar la ecuación cuadrática. Ver dónde es igual a cero puede darnos pistas.

Ejemplo: (continuación)

Empezamos con 6x² + 5x − 6 y solo esta gráfica:

ejemplo factorizando una cuadrática

Las raíces están alrededor de x = −1.5 y x = +0.67, así que podemos adivinar que las raíces son:

−3/2 y 2/3

Lo que nos puede ayudar a encontrar los factores 2x + 3 y 3x − 2

¡Siempre revisa! El valor en la gráfica de +0.67 podría no ser realmente 2/3

La solución general

También hay una solución general (útil cuando falla el método anterior), que utiliza la fórmula cuadrática:

fórmula cuadrática

Usa esa fórmula para obtener las dos respuestas x₊ y x₋ (una es para el caso "+", y la otra es para el caso "−" en el "±"), y obtenemos esta factorización:

a(x − x₊)(x − x₋)

Usemos el ejemplo anterior para ver cómo funciona:

Ejemplo: ¿cuáles son las raíces de 6x² + 5x − 6 ?

Sustituye a=6, b=5 y c=−6 en la fórmula:

x = −b ± √(b² − 4ac)2a

= −5 ± √(5² − 4×6×(−6))2×6

= −5 ± √(25 + 144)12

= −5 ± √16912

= −5 ± 1312

Entonces las dos raíces son:

x₊ = (−5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,

x₋ = (−5 − 13) / 12 = −18/12 = −3/2

(Observa que obtenemos la misma respuesta que cuando hicimos la factorización anteriormente).

Ahora pon esos valores en a(x − x₊)(x − x₋):

6(x − 2/3)(x + 3/2)

Podemos reorganizar eso un poco para simplificarlo:

3(x − 2/3) × 2(x + 3/2) = (3x − 2)(2x + 3)

Y obtenemos los mismos factores que antes.

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

(Gracias a "mathsyperson" por partes de la versión de este artículo en inglés)