Teorema fundamental de la aritmética
La idea esencial
Partimos de la idea esencial de que cualquier entero mayor a 1 es un número primo o se puede hacer multiplicando números primos. De esta forma:
Esto continúa así:
- 10 is 2×5
- 11 es primo,
- 12 is 2×2×3
- 13 es primo
- 14 is 2×7
- 15 is 3×5
- 16 is 2×2×2×2
- 17 es primo
- etc...
Sigue leyendo para obtener una explicación ...
El teorema fundamental de la aritmética
Comencemos con la definición:
Cualquier número entero mayor que 1 es un número primo o puede escribirse como un producto único de números primos (ignorando el orden).
¿Qué significa?
Construyamos las ideas pieza por pieza:
"Cualquier entero mayor que 1" se refiere a los números 2, 3, 4, 5, 6, ... etc.
Un número primo es un número que no se puede dividir exactamente por ningún otro número (excepto 1 o él mismo).
Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... (y más)
"...producto de números primos" significa que multiplicamos
números primos entre sí.
Entonces, al multiplicar números primos podemos crear cualquier otro
número entero.
Ejemplo: 42
¿Podemos formar 42 multiplicando solo números primos? Vamos a ver:
2 × 3 × 7 = 42
Sí, 2, 3 y 7 son
números primos, y cuando se multiplican dan 42.
Prueba algunos otros ejemplos tú mismo. ¿Qué tal 30? ¿O 33?
 |
Es como si los números primos fueran los bloques de construcción básicos de todos los números. |
"... producto único de números primos" significa que solo hay un (¡único!) conjunto de números primos que funcionará.
Ejemplo: acabamos de mostrar que 42 está hecho por los números primos 2, 3 y 7:
2 × 3 × 7 = 42
¡Ningún otro número primo funcionará!
Podemos intentarlo con 2 × 3 × 5, o 5 × 11, pero ninguno de ellos funcionará:
Solo 2, 3 y 7 forman 42
¡Ahí lo tienes!
Cualquiera de los números 2, 3,
4, 5, 6, ... etc. son
números primos, o se pueden hacer multiplicando números primos entre
sí.
Y solo hay un conjunto (único) de números primos que funciona en cada
caso.
Más ejemplos:
Ejemplo: 7
7 ya es un número primo
Ejemplo: 22
El 22 se puede hacer multiplicando los números primos 2 y 11 entre sí.
2 × 11 = 22
Ninguna otra combinación de números primos funcionará.
Ignora el orden
Además, arriba dije "ignorando el orden". Con eso quiero decir:
- 2 × 11 = 22 es lo mismo que
- 11 × 2 = 22
Así que no reorganices los números y digas "no es único", ¿vale?
Números repetidos
¡Puede que tengamos que repetir un número primo!
Ejemplo: 12 se hace multiplicando los números primos 2, 2 y 3 entre sí.
12 = 2 × 2 × 3
Es correcto y válido. De hecho podemos escribirlo así:
12 = 22 × 3
Sigue siendo una combinación única (2, 2 y 3)
(Nota: 4 × 3 no funciona ya que 4 no es un número
primo)
Los primeros números
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2
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es primo
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3
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es primo
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4
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= 2×2 = 22
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5
|
es primo
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6
|
= 2×3
|
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7
|
es primo
|
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8
|
= 2×2×2 = 23
|
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9
|
= 3×3 = 32
|
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10
|
= 2×5
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11
|
es primo
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12
|
= 2×2×3 = 22×3
|
|
13
|
es primo
|
|
14
|
= 2×7
|
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...
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...
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¿Por qué no continúas esta lista hasta 100?
Resumen
El teorema fundamental de la
aritmética es como una "garantía"
que cualquier entero mayor que 1
es primo
o se puede hacer multiplicando números primos
y
solo hay una forma de hacerlo en cada caso.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
