Actividad: Dibujando cuadrados
Para esta actividad, todo lo que necesitas es una cuadrícula de puntos, un lápiz y tu cerebro.
Vamos a descubrir cuántos cuadrados puedes hacer en diferentes cuadrículas:
Nota: "1 por 1" significa cuántos lados (no cuántos puntos).
Entonces, intentemos dibujar algunos cuadrados y contar cuántos:
1 por 1
| Bueno, eso es fácil, solo hay uno: |  |
2 por 2
| Eso también parece fácil. Son cuatro, ¿no? |  |
|
| Pero espera, esa no es la respuesta completa. También está este más grande: |
 |
Eso hace cinco cuadrados en total: cuatro cuadrados de 1 por 1 y uno de 2 por 2
Tu turno !
3 por 3
|
Ahora te toca a ti. Aquí está la cuadrícula: |
 |
 |
Sugerencia: Para el caso de 3 por 3, vas a obtener cuadrados de 1 por 1, cuadrados de 2 por 2 y cuadrados de 3 por 3. ¿Cuántos de cada uno?
Ahora puedes comenzar a completar una tabla:
| Cuántos cuadrados de 1 por 1 |
Cuántos cuadrados de 2 por 2 |
Cuántos cuadrados de 3 por 3 |
Cuántos cuadrados de 4 por 4 |
Cuántos cuadrados de 5 por 5 |
Total | |
| Cuadrícula 1 por 1: | 1 | 1 | ||||
| Cuadrícula 2 por 2: | 4 | 1 | 5 | |||
| Cuadrícula 3 por 3: | ||||||
| Cuadrícula 4 por 4: | ||||||
| Cuadrícula 5 por 5: |
¿Notaste algo sobre los números en la tabla?
Todos son números cuadrados:
- 12 = 1,
- 22 = 4,
- 32 = 9,
- etc ...
y los totales se calculan sumando números cuadrados.
¡Una fórmula al rescate ...!
En realidad, existe una fórmula para sumar los primeros n números cuadrados:
Sn = n(n+1)(2n+1) / 6
Ejemplo: el número de cuadrados en el caso de 5 por 5
Intenta sustituir n = 5 en la fórmula:
Entonces, parece que hemos resuelto la pregunta. ¡Genial!
¡Pero espera hay más!
Dije que necesitarías usar tu cerebro. Volvamos al caso de 2 por 2:
2 por 2
También hay otro cuadrado, este:
¿Por qué es un cuadrado? Tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos, por lo que es un cuadrado.
Entonces, eso hace seis cuadrados en total.
Cuatro cuadrados de 1 por 1, uno de 2 por 2 y uno de x por x .
¿Cuál es el valor de x? Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrarlo:
Entonces, tenemos cuatro cuadrados de 1 por 1 , uno de 2 por 2 y uno de √2 por √2 .
Tu turno !
3 por 3
- ¿Hay más cuadrados?
¡ SÍ ! ¿Puedes encontrarlos?
4 por 4 y 5 por 5
Prueba también la cuadrícula de 4 por 4 y la cuadrícula de 5 por 5
A medida que avanzas, encontrarás cuadrados como estos:
¿Cuáles son las longitudes de los lados de estos cuadrados?
Puedes usar el Teorema de Pitágoras para resolverlo tú mismo.
En cada caso, ¿cuántos obtienes de cada uno?
Aquí hay una tabla para ayudarte:
| Cuantos
1 por 1 |
Cuantos
1 por 1 |
Cuantos
1 por 1 |
Cuantos
1 por 1 |
Cuantos
1 por 1 |
Cuantos
√2 por √2 |
Cuantos
√5 por √5 |
Cuantos
√8 por √8 |
Cuantos
√10 por √10 |
Cuantos
√13 por √13 |
Cuantos
√17 por √17 |
Total | |
| Cuadrícula 1 por 1: | 1 | 1 | ||||||||||
| Cuadrícula 2 por 2: | 4 | 1 | 1 | 6 | ||||||||
| Cuadrícula 3 por 3: | ||||||||||||
| Cuadrícula 4 por 4: | ||||||||||||
| Cuadrícula 5 por 5: |
Avanzado
¿Puedes encontrar una fórmula para calcular la cantidad de cuadrados que tienen longitudes que son raíces cuadradas enteras?
Luego, ¿puedes encontrar una fórmula para el número total de cuadrados en cada caso?
¿Hay más cuadrados escondidos por allí que nos hayamos perdido?
Conclusión
Lo que empezó como un simple ejercicio resultó ser bastante complejo. En realidad sí que necesitas usar tu cerebro para pensar bien en este caso, pero es un ejercicio desafiante y gratificante.
