Amplitud, Periodo, Desfase y Frecuencia
Algunas funciones (como seno y coseno) se repiten infinitamente
y se llaman Funciones Periódicas.
El Periodo va de un pico al siguiente (o de cualquier punto al siguiente punto de coincidencia):
La Amplitud es la altura desde la línea central hasta el pico (o hasta el valle). También podemos medir la altura desde el punto más alto hasta el más bajo y dividir eso entre 2.
El Desfase es cuán desplazada está la función horizontalmente de su posición habitual.
El Desplazamiento vertical es cuán desplazada está la función verticalmente de su posición habitual.
¡Ahora todo junto!
Podemos tenerlo todo en una sola ecuación:
y = A sen(B(x + C)) + D
- la amplitud es A
- el periodo es 2π/B
- el desfase es C (positivo es hacia la izquierda)
- el desplazamiento vertical es D
Y así es como se ve en una gráfica:
Toma en cuenta que aquí estamos usando radianes, no grados, y que hay 2π radianes en una vuelta completa.
Ejemplo: sen(x)
Esta es la fórmula básica de la función seno sin cambios. A = 1, B = 1, C = 0 y D = 0
Así que la amplitud es 1, el periodo es 2π, y no hay desfase ni desplazamiento vertical:
El desfase puede ser un poco confuso con los signos:
- Usando y = A sen(B(x + C)) + D, entonces C > 0 desplaza la gráfica hacia la izquierda
- Algunos libros usan y = A sen(B(x − h)) + D, donde h > 0 indica un desplazamiento hacia la derecha
Ambas formas coinciden porque C = −h.
Ejemplo: 2 sen(4(x − 0.5)) + 3
- amplitud A = 2
- periodo 2π/B = 2π/4 = π/2
- desfase = −0.5 (o 0.5 a la derecha)
- desplazamiento vertical D = 3
En palabras:
- el 2 nos dice que será 2 veces más alta de lo habitual, por lo que Amplitud = 2
- el periodo usualmente es 2π, pero en nuestro caso se ha "acelerado" (acortado) por el 4 en 4x, así que Periodo = π/2
- y el −0.5 significa que se desplazará hacia la derecha en 0.5
- por último, el +3 nos dice que la línea central es y = +3, así que Desplazamiento Vertical = 3
En lugar de x podemos tener t (de tiempo) o quizás otras variables:
Ejemplo: 3 sen(100t + 1)
Para ver el desfase, factorizamos el 100 dentro del seno:
3 sen(100t + 1) = 3 sen(100(t + 0.01))
Ahora podemos ver:
- la amplitud es A = 3
- el periodo es 2π/100 = 0.02 π
- el desfase es C = 0.01 (hacia la izquierda)
- el desplazamiento vertical es D = 0
Y obtenemos:
Amplitud
¡La amplitud siempre es positiva!
Un valor negativo delante de la función, como −3 sen(x), invierte la onda de cabeza, pero la amplitud sigue siendo 3.
Frecuencia
La frecuencia es qué tan seguido sucede algo por unidad de tiempo (por "1").
Ejemplo: Aquí la función coseno se repite 4 veces entre 0 y 1:
Así que la Frecuencia es 4
Y el Periodo es 14
De hecho, el Periodo y la Frecuencia están relacionados:
Frecuencia = 1Periodo
Periodo = 1Frecuencia
Ejemplo anterior: 3 sen(100(t + 0.01))
El periodo es 0.02π
Así que la Frecuencia es 10.02π = 50π
Más ejemplos:
| Periodo | Frecuencia |
|---|---|
| 110 | 10 |
| 14 | 4 |
| 1 | 1 |
| 5 | 15 |
| 100 | 1100 |
Cuando la frecuencia es por segundo, se llama "Hertz".
Ejemplo: 50 Hertz significa 50 veces por segundo
¡Cuanto más rápido rebota, más "Hertz"!
Animación
Cómo trazar y = A sen(Bx)
Conociendo A y B podemos dibujar una gráfica a mano:
Calcula el Periodo (P): Calcula P = 2πB. Este es el ancho de un ciclo completo.
Usa la Regla de los 5 Puntos, marcando estos 5 puntos a lo largo de un periodo completo (P):
- Inicio: (0, 0)
- Pico: (P4, A)
- Medio: (P2, 0)
- Valle: (3P4, −A)
- Final: (P, 0)
¡Une los puntos con una onda suave!
Ejemplo: A=2, B=π/2
P = 2πB = 2ππ/2 = 4
Los puntos son: (0, 0), (1, 2), (2, 0), (3, −2), (4, 0)
Marca los puntos y traza la onda:
Escribir la función a partir de una gráfica
Puedes ser un "detective matemático" y trabajar hacia atrás a partir de una gráfica para deducir su ecuación.
Primero halla A y B:
- A: mide la altura desde la línea central hasta un pico
- B: calcula: B = 2πPeriodo
Ejemplo: una gráfica donde el pico está en 3 y se repite cada π
- Amplitud A = 3
- Periodo P = π, por lo que B = 2ππ = 2
- La ecuación es: y = 3 sen(2x)